§ 8. Интегрирование оригинала (Вид изображения, соответствующего интегралу от исходного оригинала f(t))

Имеем соотношение

Каким будет новое изображение, если под знаком интеграла вместо поставить интеграл от этой функции в пределах от нуля до Таким образом, мы подходим к теореме интегрирования оригинала.

Теорема 11 . Если

т. е.

и если в качестве нового оригинала взять

или, вообще

то

и соответственно

Доказательство. Пусть

Обозначим новый оригинал

и новое изображение, соответствующее этому оригиналу,

т. е. в символической форме

Принимая во внимание, что а также что получаем, согласно формуле (11.21),

или

Но, кроме того,

следовательно,

или

Теперь, учитывая (11.27) и (11.28), а также последнее равенство, можем записать

Повторяя указанный процесс еще один раз, приходим к символической формуле

Поступая так же последовательно дальше, получаем

Из теоремы 11 видно, что действию интегрирования начальной функции соответствует алгебраическое действие деления исходного изображения на величину , а действию последовательного интегрирования раз начальной функции — действие деления исходного изображения на величину , возведенную в степень Следовательно, и здесь величина приобретает свойство оператора.

Примечание. Следует обратить внимание на то, что при выводе формул постоянная интегрирования была соответствующим образом подобрана.

Примеры. 1. С помощью операционного соотношения

найдем изображение для синус-интеграла Френеля. Применяя теорему интегрирования оригинала, получаем

Пример 2. Зная, что

найдем операционное соотношение для косинус-интеграла Френеля. Применяя теорему интегрирования оригинала, получаем