§ 15. Обобщенная теорема умножения оригиналов

Теорема 20. Пусть известны изображения начальных функций соответственно Тогда изображение функции являющейся произведением функций определяется формулой

Доказательство. На основании условия

или

и

или

Запишем теперь

Покажем, что изображение функции можно найти по формуле (II.64).

В самом деле, на основании (11.67) и (11.64)

Предполагая, что двойной интеграл в (11.68) абсолютно сходится, на основании чего можно изменить порядок интегрирования, получаем

Используя сначала (11.66), а затем (11.65), получаем окончательно

Примечание. Если в теореме 20 положить то получим изображение произведения которое было установлено

теоремой 18, являющейся, таким образом, частным случаем теоремы 20. В самом деле, положив в получим

Обозначим изображение оригинала через Следовательно,

т. е.

Подставив сюда вместо , получим

или

т. е.

Сравнивая (11.70) и (11.71), видим, что в данном случае

Обозначая через изображение оригинала и через изображение функции, представляющей собой произведение двух начальных функций получаем

или в символическом виде

Такое символическое соотношение было получено в теореме 18 — (11.52), где вместо фигурировала величина

Теорема 21. Пусть

3) функция для которой является аналитической и регулярной в полуплоскости

Тогда имеет смысл выражение удовлетворяющее соотношению

или в символической записи

где

т. е.

Доказательство. Легко убедиться, что из второго и третьего пунктов условия следует, что интеграл

представляет собой аналитическую функцию, которая регулярна и ограничена при значениях , удовлетворяющих неравенству

В самом деле,

Примем теперь во внимание первый пункт условия. Имеем

Подставляя в вместо , получаем

откуда

Значит, существует выражение

Однако

откуда

или, изменяя в правой части последнего равенства порядок интегрирования, что в данном случае законно, можем записать

Принимая во внимание (11.76), можно представить соотношение (11.81) в виде

а следовательно,

Подставляем теперь (11.82) в символическое равенство (11.78). Окончательно находим

или

В связи с доказанным возникает вопрос о возможности установления обратной, в некотором смысле, теоремы. На этот вопрос получаем положительный ответ в следующей теореме.

Теорема 22. 1. Пусть

(кликните для просмотра скана)

Следовательно,

Изменяя во второй части этого равенства порядок интегрирования, получаем

Подставляя (11.89) в символическое равенство (11.87), находим окончательно

или

Пример 1 (применение теоремы Бореля к некоторым разделам математического анализа). Рассмотрим весьма простой и удобный вывод соотношения между Г-функциями и интегралом Эйлера 1-го рода для целых положительных . Будем исходить из операционного равенства (см. § 20)

Используя теорему умножения двух изображений, получаем

Но, с другой стороны,

что при приводит к интегралу Эйлера 1-го рода (В-функция):

Таким образом, в левой части последнего равенства 1

Выражение может быть записано в виде

Следовательно, устанавливаем связь между функциями В и Г:

или в обычной записи

Получающийся в начале решения данной задачи промежуточный результат

представляет также самостоятельный интерес.

Пример 2. С помощью теоремы о произведении двух изображений выведем еще одну важную формулу математического анализа. Будем исходить из таких операционных соотношений:

Применяя теорему произведения двух изображений, получаем

Однако, как показано в § 20,

На основании последних двух соотношений получаем

или после соответствующей замены

где Эта формула сама по себе очень важна. Кроме того, пользуясь ею, можно получить одно из соотношений между тригонометрическими функциями и функцией Бесселя.

В самом деле, придавая значение и полагая а также учитывая соотношение математического анализа

получаем

Пример 3 (применение обобщенной теоремы Бореля). Пусть

причем

т. е. в нашем случае

Найдем операционное соотношение для произведения , а именно найдем такую функцию которая символически соответствовала бы этому произведению, т. е.

или в данном случае

Итак,

т. е.

Пользуясь формулой (вывод см. в § 20)

в нашем случае получаем

Но правая часть этого символического равенства на основании свойств бесселевых функций может быть представлена в виде

Значит,

Теперь можем записать

т. е.

В нашем случае

что позволяет составить операционное соотношение

Это соотношение и является ответом поставленной задачи. Пример 4. Пусть дано

причем

(кликните для просмотра скана)