§ 3. Асимптотический характер приближенного решения рассматриваемого уравнения

Как указывалось выше, основная идея предпринятого нами исследования состоит в том, чтобы получить формальную теорему Флоке. В связи с этим возникает проблема получения оценки погрешности приближения

для выявления его асимптотического характера.

Рассмотрим вопрос об асимптотическом характере рядов (VI 1.21), откуда сможем заключить, что приближенное решение (VII.34) уравнения (VI 1.3) в рассматриваемом случае асимптотически стремится к точному решению его х (VI 1.33) при достаточно малом

Поскольку — приближенное решение уравнения (VII.3), в рассматриваемом нами случае

Из (VII.34) и (VII.35) видно, что должно представлять собой произведение выражения где

и функции класса 2, зависящей от как параметра. Можно заме, тить, что величины были выбраны так чтобы после подстановки в уравнение члены, содержащие в стео пенях не выше обратились в нуль. Поэтому должно иметч

где — полином по отношению к коэффициеты которого являются функциями класса 2. Отсюда

Докажем следующую теорему.

Теорема 3. Приближенное решение (VII.34) уравнения (VII.3) с коэффициентами (VII.4), переменные части которых образованы функциями класса 2, асимптотически стремится к точному решению х этого уравнения при достаточно малом

Доказательство. Имеем

Принимая во внимание (VII.35) и (VII.36), получаем

На основании сказанного выше относительно функции можно записать

Оценим погрешности приближения и его производных до порядка включительно:

Но можно найти такое что для в интервале будет выполняться неравенство

Поэтому

Совершим замену Тогда

Обозначив на основании (VII.39) из (VII.38) в интервале получим

Чтобы ограничить в рассматриваемом случае модули разностей между точным и приближенным решениями уравнения (VII.3), а также между их последовательными производными до порядка включительно, применим способ, изложенный в § 1. Сложим неравенства (VII.37) и примем во внимание (VI 1.40) и (VII.10):

Отсюда

где — решение уравнения

Однако

Таким образом,

откуда для при С в интервале

где . В силу (VII.42) неравенство (VII.41) может быть записано в виде

откуда

Неравенство (VI 1.43) показывает, что приближенное решение (VI 1.34) экспоненциально стремится к точному решению х (VII.33) уравнения (VII.3) с коэффициентами (VII.4), переменные части которых образованы функциями класса 2, если корни соответствующего характеристического уравнения имеют различные вещественные части.