§ 28. Соударение двух тел

При соударении тел друг с другом они претерцевают деформации. При этом кинетическая энергия, которой обладали тела перед ударом, частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации и в так называемую внутреннюю энергию тел. Увеличение внутренней энергии тел сопровождается повышением их. температуры.

Существуют два предельных вида удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий. Абсолютно упругим называется такой удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие, немеханические, виды энергии. При таком ударе кинетическая энергия переходит полностью или частично в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга; В итоге потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую энергию, и тела разлетаются со скоростями, йеличинан направление который определяются двумя условиями — сохранением полной энергий и сохранением полного импульса системы тел.

Абсолютно неупругий удар, характеризуется тем, что потенциальной энергии деформации не возникает; кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию; после удара столкнувшиеся тела либо движутся с одинаковой скоростью, либо покоятся. При абсолютно неупругом ударе выполняется лишь закон сохранения импульса, закон же сохранения механической энергии не соблюдается: имеет место закон сохранения суммарной энергии различных видов — механической и внутренней.

Рассмотрим вначале абсолютно неупругий удар двух частиц (материальных точек), образующих замкнутую систему. Пусть массы частиц равны , а скорости до удара . В силу закона сохранения суммарный импульс частиц после удара должен быть таким же, как и до удара:

( — одинаковая для обеих частиц скорость после удара). Из (28.1) следует, что

Для практических расчетов нужно спроектировать соотношение (28.2) на соответствующим образом выбранные направления.

Теперь рассмотрим абсолютно упругий удар, причем ограничимся случаем центрального удара двух однородных шаров. Удар называется центральным, если шары до удара движутся вдоль прямой, проходящей через центры.

При центральном ударе соударение может произойти, если: 1) шары движутся навстречу друг другу (рис. 28.1, а) и 2) один из шаров догоняет другой (рис. 28.1,б).

Будем предполагать, что шары образуют замкнутую систему или что внешние силы, приложенные к шарам, уравновешивают друг друга. Кроме того, будем считать, что вращение шаров отсутствует.

Обозначим массы шаров скорости шаров до удара и, наконец, скорости после удара Напишем уравнения сохранения энергии и импульса:

Учтя, что приведем (28.3) к виду

Соотношение (28.4) преобразуем следующим образом:

Из соображений симметрии можно утверждать, что скорости шаров после удара будут направлены вдоль той же прямой, вдоль которой двигались центры шаров перед ударом. Следовательно, все векторы в (28.5) в (28.6) коллинеарны. Для коллинеарных векторов с из следует, что Поэтому, сопоставив (28.5) и (28.6), мозкно заключить, что

Умножив (28.7) на и вычтя результат из (28.6), а затем умножив (28.7) на и сложив результат с (28.6), получим скорости шаров после удара:

Для численных расчетов нужно спроектировать соотношения (28.8) на ось х, вдоль которой движутся шары (см. рис. 28.1).

Отметим, что скорости шаров после абсолютно упругого удара не могут быть одинаковыми. В самом деле, приравняв друг другу выражения (28.6) для и произведя преобразования, получим

Следовательно, для того чтобы скорости шаров после удара оказались одинаковыми, - необходимо, чтобы они были одинаковыми и до удара, но, в этом случае соударение не может произойти.

Рис. 28.1

Отсюда следует, что условие равенства скоростей шаров после удара несовместимо с законом сохранения энергии. Итак, при неупругом ударе механическая энергия не сохраняется — она частично переходит во внутреннюю энергию соударяющихся тел, что приводит к их нагреву.

Рассмотрим случай, когда массы соударяющихся шаров равны . Из (28.8) следует, что при этом условии

т. е. шары при соударении обмениваются скоростями. В частности, если один из шаров одинаковой массы, например второй, до соударения пркоится, то после удара он движется с такой же скоростью, какую Имел первоначально первый шар, первый же шар после удара оказывается неподвижным.

С помощью формул (28.8) можно опуеделить скорость шара после упругого удара о неподвижную или движущуюся стенку (которую можно рассматривать как шар бесконечно большой массы та и бесконечно большого радиуса). Деля числитель и знаменатель выражений (28.8) на и пренебрегая членами, содержащими множитель получаем:

Как следует из полученного результата, скорость стенки остается неизменной. Скорость же шара, если стенка неподвижна меняет направление на противоположное; в случае движущейся стенки изменяется также величина скорости шара (возрастает на если стенка движется навстречу шару, и убывает на если стенка «уходит» от догоняющего ее шара).