16. Уравнения касательной а нормали к кривой

Касательная к графику функции в некоторой его точке для которой есть прямая, проходящая через эту точку и имеющая угловой коэффициент равный (см. п. 6). Поэтому уравнение этой касательной можно найти, воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через данную точку (см. гл. II, формула 15):

Рис. 135

Определение. Нормалью к кривой называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной (рис. 135).

Рассмотрим график функции пусть - одна из его точек. Тогда уравнение нормали к графику функции в данной точке имеет вид

так как угловой коэффициент нормали связан с угловым коэффициентом касательной условием перпендикулярности:

Пример 1. Найти уравнение касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой

Решение. Найдем ординату точки касания:

Дифференцируем данную функцию: и находим угловой коэффициент касательной и угловой коэффициент нормали . По формулам (48) и (49) находим уравнение касательной

и уравнение нормали

Пример 2. Найти уравнение касательной и нормали к эллипсу

в точке

Решение. Дифференцируя по х обе части уравнения эллипса, получим

Отсюда Угловой коэффициент касательной к эллипсу в точке

Угловой коэффициент нормали Следовательно,

уравнения касательной и нормали соответственно имеют вид:

или, после упрощений,