§ 6. Вероятность гипотез. Формула Байеса

Формулировка задачи. Как и в теореме 2 § 5, будем рассматривать полную группу несовместных событий вероятности появления которых суть . Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий крторые будем называть гипотезами.

Вероятность появления события A в соответствии с формулой (8) § 5 будет

Допустим, что событие А произошло. То, что событие А произошло, изменит вероятности гипотез . Требуется определить условные вероятности осуществления этих гипотез в предположении, что событие А произошло, т. е. определить

Решение задачи. По формуле (7) § 5 найдем вероятность

откуда

Подставляя вместо его выражение (1), получим

Аналогичным образом определяются

Итак,

Формула (2) называется формулой Байеса или теоремой гипотез. Замечание. Из формулы (3) следует, что в выражении вероятности вероятности осуществления гипотезы - при условии, что событие А произошло, - знаменатель не зависит от номера

Пример 1. Пусть до опыта было четыре равновероятные гипотезы

Условные вероятности появления события А соответственно равны

Пусть в результате испытания, событие А произошло. Тогда по формулам (3) получаем

Здесь было стало больше, потому что событие А произошло При этом вероятность большая сравнительно с другими условными вероятностями.

Пример 2. Каждый из танков независимо сделал выстрел по- некоторому объекту. Вероятность поражения первым танком вторым Объект поражен одним попаданием. Определить вероятность того, что объект поражен первым танком.

Решение. Событие А — поражение объекта одним попаданием. До стрельбы возможны следующие гипотезы:

— оба танка не попали,

- оба танка попали,

— первый танк попал, второй не попал,

- первый не попал, второй попал.

Определим вероятности этих гипотез по теореме умножения вероятностей:

Определим условные вероятности наступления события А:

По формуле (2) находим условную вероятность гипотез:

Пример 3. 30% приборов собирает специалист высокой квалификации и 70% - специалист средней квалификации. Надежность работы прибора, собранного специалистом высокой квалификации, 0,90, надежность прибора, собранного специалистом средней квалификации, 0,80. Взятый прибор оказался надежным. Определить вероятность того, что он собран специалистом высокой квалификации.

Решение. Событие А - безотказная работа прибора. Для проверки прибора возможны гипотезы

прибор собран специалистом высокой квалификации,

прибор собран специалистом средней квалификации.

Выпишем вероятности этих гипотез:

Условные вероятности события А:

Определим вероятности гипотез условии, что событие А произошло.

По формуле (2) имеем