7. ДИНАМИКА ДВУХКАСКАДНЫХ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ УСИЛИТЕЛЕЙ

Подавляющее большинство современных мощных высокочувствительных электрогидравлических приводов с дроссельным управлением имеет в своей структуре два гидравлических каскада усиления. В этом случае динамика электрогидравлического привода, рассматриваемого в виде линейной системы, будет определяться совокупностью передаточных функций, включающей в себя и передаточную функцию двухкаскадного гидравлического усилителя.

Для определения передаточной функции какого-либо двухкаскадного гидравлического усилителя необходимо знать его схему и конструктивное выполнение основных элементов. Рассмотрим вначале двухкаскадный гидравлический усилитель с иглой и золотником, относящийся к группе двухкаскадных гидравлических усилителей с последовательным включением дросселей в первом каскаде усиления. Принципиальная схема усилителя была приведена на рис. VIII.21.

Входной координатой рассматриваемого гидравлического усилителя является перемещение х иглы 2. За выходную координату гидроусилителя примем перемещение у плунжера 3 золотника второго каскада усиления. Динамические свойства двухкаскадного гидравлического усилителя с иглой и золотником могут быть описаны дифференциальным уравнением движения плунжера золотника

где — масса плунжера золотника;

— площади торцов плунжера золотника соответственно в полостях А и В гидравлического усилителя;

давление питания первого каскада гидравлического усилителя, равное давлению в камере В;

— давление рабочей жидкости в междроссельной камере гидравлического усилителя; — коэффициент вязкого трения плунжера о гильзу золотника.

Уравнение (VIII. 106) записано для случая перемещения иглы и плунжера влево. При составлении уравнения предполагалось, что давление рабочей жидкости в камере Б усилителя и на линии слива равно нулю, а осевая гидродинамическая сила, возникающая на плунжере золотника, пренебрежимо мала.

Координаты х иглы и у плунжера золотника отсчитываются от нейтрального положения системы игла — золотник, при котором буртики плунжера симметрично перекрывают окна в гильзе золотника.

Рис. VI 11.33. Схема первого каскада усиления в двухкаскадном гидравлическом усилителе с иглой и золотником: 1 — дроссель с постоянным проходным сечением; 2 — дроссель с переменным проходным сечением

Положительное направление отсчета координат х и у принимается влево от нейтральных положений соответственно иглы и плунжера.

Площадь проходного сечения переменного дросселя 2 (рис. VIII.33), образованного иглой и кромкой отверстия в плунжере золотника, зависит от положения иглы по отношению к плунжеру. Так как последний, также как и игла, может перемещаться, то, следовательно, площадь зависит от рассогласования перемещений иглы и плунжера, т. е.

где — начальная площадь проходного сечения, соответствующая нейтральному положению; — коэффициент пропорциональности;

— рассогласование перемещений иглы и плунжера.

В момент, когда рассогласование равно нулю, имеем

В свою очередь, начальную площадь проходного сечения можно представить в виде

где — начальное смещение иглы по отношению к плунжеру, соответствующее нейтральному положению системы при

Начальная площадь проходного сечения между иглой и плунжером золотника может быть определена из условия, что в нейтральном

положении системы игла — золотник расходы рабочей жидкости через дроссели первого каскада усиления (через дроссель 1 с постоянным проходным сечением и дроссель 2 с переменным проходным сечением) одинаковы по величине, т. е.

где и — коэффициенты дросселей соответственно с постоянным и переменным проходными сечениями;

— площади проходных сечений дросселей;

— начальное давление рабочей жидкости в междрос-сельной камере А, соответствующее нейтральному положению системы;

— плотность рабочей жидкости.

Для нейтрального положения системы возможно также записать условие равновесия плунжера золотника

Из последнего равенства следует, что

Замена в равенстве (VIII. 110) начального давления в междроссельной камере А его выражением (VIII. 112) дает

Из полученного равенства находим начальную площадь проходного сечения между иглой и золотником

Из последнего выражения видно, что начальная площадь зависит от соотношения площадей т. е. от конструкции плунжера золотника. В общем случае соотношение между площадями и торцов плунжера в камерах А и В гидравлического усилителя может быть различным. Однако наивыгоднейшее соотношение площадей устанавливается на основе анализа коэффициента усиления по давлению первого каскада усиления.

Аналогично однокаскадному гидравлическому усилителю сопло — заслонка, выполненному по схеме гидравлической цепочки, одну из статических характеристик первого каскада усиления рассматриваемого двухкаскадного гидравлического усилителя можно представить в виде

В этом случае коэффициент усиления по давлению первого каскада усиления при нулевом рассогласовании будет

Для наибольшего быстродействия первого каскада усиления целесообразно, чтобы коэффициент усиления по давлению был бы возможно большим, т. е. он должен быть равен

Найдем условие существования максимального коэффициента усиления по давлению для первого каскада усиления. С этой целью преобразуем выражение (VIII. 116), учитывая, что согласно формуле (VIII. 115) при и

После преобразования получим

Максимум коэффициента усиления по давлению будет иметь место, если

Отсюда условием существования коэффициента будет равенство

Подстановка полученного значения начального давления в выражение (VIII. 112) показывает, что для наибольшего быстродействия первого каскада усиления соотношение между площадями плунжера золотника должно быть

При найденном соотношении площадей начальная площадь проходного сечения между иглой и плунжером золотника будет

Известная величина начальной площади позволяет определить, если известен также и коэффициент пропорциональности начальное смещение иглы по отношению к плунжеру золотника

В реальных гидравлических усилителях рассматриваемого типа игла выполняется часто в виде тонкостенной трубки малого диаметра,

на боковой поверхности которой выфрезеровано несколько окон, как это показано, например, на рис. VIII.34. При таком исполнении иглы, если пренебречь радиальным зазором между иглой и отверстием в плунжере, начальную площадь проходного сечения между иглой и плунжером золотника можно представить в виде

где — ширина окна в игле.

Рис. VIII.34. Игла с тремя проходными сечениями прямоугольной формы

При перемещении плунжера золотника от нейтрального положения расходы рабочей жидкости через дроссели первого каскада усиления уже не равны друг другу и связаны между собой зависимостью

где — расход рабочей жидкости на выходе первого каскада усиления, равный объему, который описывает движущийся плунжер золотника

Знак минус в выражении (VIII. 125) соответствует движению плунжера золотника направо от своего положения равновесия (см. рис. VIII.21), а знак плюс — движению налево. Поскольку уравнение (VIII. 106) движения плунжера записано для случая перемещения иглы и плунжера налево, то имеем

Выражение (VIII. 127) записано без учета сжимаемости жидкости и перетечек ее из камеры А на линию слива.

Введем обозначения

которые позволяют записать дифференциальное уравнение (VIII. 106) движения плунжера золотника в виде уравнений

Уравнение (VIII. 127) расходов с учетом их развернутых выражений и введенных обозначений можно представить в форме

Подставив в последнее уравнение (VIII. 132) выражение (VIII. 107), запишем

Полученное уравнение можно представить также в иной форме

здесь

Из уравнения (VIII. 113) имеем

Подставим в уравнение (VIII. 134) вместо произведения его выражение (VIII. 136). Получим

Уравнение (VIII. 137) является нелинейным. Оно может быть линеаризовано разложением правой части в ряд по степеням а. Если ограничиться в разложении членами со степенью не выше первой, т. е. учесть только члены первого порядка малости всех переменных и их производных, и заменить их выражениями (VIII. 128) и (VIII. 135), то окончательно получим

где

Согласно уравнению (VIII. 138) передаточная функция рассматриваемого двухкаскадного усилителя получит вид

Довольно часто массой плунжера золотника пренебрегают. При этом уравнение (VIII. 138) движения плунжера вырождается в уравнение

а передаточная функция будет

Совокупность полученной передаточной функции (VIII. 141) или (VIII. 143) и передаточных функций других элементов электрогидравлического привода позволяет провести исследование его динамики, как линейной системы, содержащей два гидравлических каскада усиления мощности.

Уравнение (VIII. 138) динамики рассматриваемого двухкаскадного гидравлического усилителя может быть получено и другим способом. Так, аналогично обычному гидравлическому усилителю с соплом и заслонкой для данного двухкаскадного гидравлического усилителя могут быть аналитически определены две статические характеристики первого каскада усиления и соответствующие им коэффициенты усиления Далее возможно найти линеаризованные обобщенные характеристики или вид которых будет аналогичен обобщенным характеристикам (VIII. 83) или (VIII. 84) для обычного гидравлического усилителя с соплом и заслонкой. Совокупность одной из обобщенных характеристик и уравнения (VIII. 106) приведет к уравнению динамики двухкаскадного гидравлического усилителя.

Рассмотрим далее двухкаскадный гидравлический усилитель со струйной трубкой и золотником. Этот усилитель также относится к группе двухкаскадных гидравлических усилителей с последовательным включением дросселей в первом каскаде усиления. Принципиальная схема усилителя была дана на рис. VIII. 25.

Входной координатой исследуемого гидравлического усилителя является угол поворота струйной трубки 1 или пропорциональное ему (при малых углах поворота) перемещение конца насадка струйной трубки:

где — длина струйной трубки.

В дальнейших выкладках в качестве входной координаты принята величина За выходную координату гидравлического усилителя примем перемещение у плунжера 3 золотникового каскада усиления.

Плунжер золотника может перемещаться независимо от струйной трубки, поэтому перепад давлений в приемных соплах рассматриваемого двухкаскадного гидравлического усилителя зависит от разности положений струйной трубки и плунжера золотника, т. е. от рассогласования

Отличительной чертой гидравлического усилителя со струйной трубкой является существование в нем неявной скоростной отрицательной обратной связи между гидравлическим двигателем (в данном случае плунжером золотника), управляемым струйной трубкой и приемными соплами. Появление скоростной отрицательной обратной связи вызвано тем, что перепад давлений в приемных соплах при движении в них рабочей жидкости зависит от ее скорости.

Рис. VIII.35. Структурная схема двухкаскадного гидравлического усилителя со струйной трубкой и золотником: 1 плитка с приемными соплами, находящаяся на плунжера золотника; 2 — плунжер золотника; 3 — отрицательная обратная связь, соответствующая слежению плунжера за концом струйной трубки и имеющая единичный коэффициент усиления; 4 — неявная скоростная отрицательная обратная связь, о которой было сказано выше

Рис. VIII.36. Статическая характеристика гидравлического усилителя со струйной трубкой

С учетом сделанных замечаний структурная схема двухкаскадного гидравлического усилителя со струйной трубкой и золотником имеет вид, показанный на рис. VIII. 35.

Найдем передаточные функции всех звеньев гидравлического усилителя, принимаемого при этом за линейную систему.

Для плитки с приемными соплами (звено зависимость между перепадом Дрпс давлений, возникающих в соплах при неподвижном плунжере, и рассогласованием описывается выражением

где — коэффициент пропорциональности;

— давление питания первого каскада усиления, т. е. струйной трубки;

— максимальное перемещение конца струйной трубки, соответствующее верхней границе линейного диапазона статической характеристики (рис. VIII.36).

Согласно выражению (VIII. 146) передаточная функция звена 1

где постоянный коэффициент.

Дифференциальное уравнение движения плунжера золотника под воздействием приложенных к плунжеру сил при допущении, что доминирующими силами трения являются силы жидкостного трения, имеет вид

где — масса плунжера совместно с перемещающейся вместе с ним массой жидкости;

— коэффициент вязкого трения плунжера о гильзу золотника;

— перепад давлений на торцах плунжера (в камерах А и Б, рис. VIII. 25) во время его движения;

— площадь торцов плунжера золотника.

На основании уравнения (VIII. 148) передаточная функция звена 2

Звено 3, т. е. отрицательная обратная связь, имеет передаточную функцию

Зависимость между выходной и входной величинами скоростной отрицательной обратной связи имеет вид

где — изменение перепада давлений в приемных соплах вследствие действия скоростной обратной связи;

— коэффициент неявной обратной связи.

Следовательно, передаточная функция звена 4

Учитывая существование неявной скоростной отрицательной обратной связи, перепад давлений на торцах плунжера золотника можно записать в виде

При известных передаточных функциях звеньев можно найти вначале передаточную функцию звена 2, охваченного скоростной отрицательной обратной связью 4. Эта передаточная функция будет равна

Передаточная функция рассматриваемого гидравлического усилителя с разомкнутой на входе отрицательной обратной связью 3 представит собой произведение

В результате передаточная функция двухкаскадного гидравлического усилителя со струйной трубкой и золотником с замкнутым основным контуром будет

Общее уравнение динамики рассматриваемого гидравлического усилителя, полученное на основании передаточной функции (VIII.156) можно преобразовать к виду

где — постоянные времени;

Уравнение (VIII. 157) можно записать также в форме

где — постоянная времени;

коэффициент демпфирования.

При этом передаточная функция получит вид

В реальных двухкаскадных гидравлических усилителях данной схемы масса плунжера золотника часто бывает невелика. Поэтому величина мала по сравнению с постоянной. времени и ей пренебрегают. В этом случае уравнение (VIII. 157) приобретает вид

а передаточная функция рассматриваемого двухкаскадного гидравлического усилителя

Дифференциальные уравнения (VIII. 157) и (VIII. 159) движения гидравлического усилителя со струйной трубкой и золотником могут быть получены также путем совместного решения уравнения движения плунжера и уравнения (VIII. 83) линеаризованной обобщенной характеристики первого каскада усиления. Сопоставление

коэффициентов в общих дифференциальных уравнениях динамики рассматриваемой системы, полученных различными способами, позволяет установить, что коэффициенты усиления по давлению и по расходу первого каскада усиления (струйной трубки) соответственно равны

При этом заметим, что структурная схема на рис. VIII. 35 является общей для многих двухкаскадных гидравлических усилителей и представляет собой развернутую структурную схему, показанную на рис. VIII. 22. Неявная обратная связь (звено 4, рис.

VIII. 35) эквивалентна члену — в уравнении линеаризованной обобщенной характеристики первого каскада усиления.

Выведем дифференциальное уравнение движения и передаточную функцию двухкаскадного гидравлического усилителя с соплом-заслонкой и золотником, относящегося к группе двухкаскадных гидравлических усилителей с параллельным включением дросселей в первом каскаде усиления. Принципиальная схема усилителя была показана на рис. VIII. 26.

Входной координатой данного гидравлического усилителя является угол поворота заслонки 5. За выходную координату гидравлического усилителя примем опять-таки перемещение х плунжера 6 золотника. Динамические свойства двухкаскадного гидравлического усилителя могут быть описаны совокупностью двух уравнений. Одно из них представляет дифференциальное уравнение движения плунжера золотника и имеет вид

— масса плунжера золотника;

— давления рабочей жидкости в полостях А и Б гильзы золотника;

— площадь торцов плунжера золотника в полостях А и Б;

— коэффициент вязкого трения плунжера о гильзу золотника;

— коэффициент осевой гидродинамической силы; с — жесткость пружин.

Уравнение (VIII. 165) записано для случая движения плунжера направо, соответствующего повороту заслонки против часовой стрелке. Указанные направления движения плунжера и заслонки от своих нейтральных положений приняты за положительные направления отсчета координат и у. Нейтральным положением заслонки является расположение ее по вертикали.

Вторым уравнением является уравнение обобщенной характеристики первого каскада усиления

где — перепад давлений рабочей жидкости на торцах плунжера золотника;

— коэффициенты усиления по давлению и по расходу первого каскада усиления при его нулевой входной координате;

— расход рабочей жидкости на выходе первого каскада усиления (в диагонали моста), равный без учета сжимаемости жидкости и утечек ее из полостей А и Б на линию слива

Рис. VIII.37. Схема первого каскада усиления в двухкаскадном гидравлическом усилителе с соплом — заслонкой и золотником: 1 и 3 — дроссели с постоянными проходными сечениями; 2 и 4 — дроссели с переменными проходными сечениями

Коэффициенты усиления по давлению и по расходу первого каскада усиления, собранного по мостовой схеме (рис. VIII. 37), при нулевой входной координате определяются по выражениям

где — радиус заслонки, отсчитываемый от оси ее вращения до оси сопел;

— начальный зазор между заслонкой и соплами;

— давление питания первого каскада усиления;

— начальное давление в полости А золотника;

— постоянные величины;

где — коэффициенты расхода дросселей соответственно с постоянной и переменной площадями проходных сечений;

и диаметры соответственно проходного отверстия в постоянном дросселе и сопла;

— плотность рабочей жидкости.

Приведенные коэффициенты усиления по давлению и по расходу получены путем дифференцирования (по входной координате статических характеристик

Заменяя в уравнении (VIII. 165) перепад давлений его значением согласно уравнению (VIII. 166) и учитывая при этом выражение (VIII. 167), получим

В уравнении с представляет собой суммарную жесткость пружин и осевой гидродинамической силы.

Уравнение (VIII. 172) можно преобразовать к виду

где — постоянная времени рассматриваемого гидравлического усилителя;

- коэффициент демпфирования гидравлического усилителя;

— статическии коэффициент усиления гидравлического усилителя.

Если коэффициент 1, то уравнение (VIII. 173) колебательного звена распадается на два уравнения, соответствующие апериодическим звеньям с постоянными времени:

При можно принять, что В этом случае уравнение (VIII. 173) превращается в уравнение

где

Согласно уравнениям (VIII. 173) и (VIII. 174) передаточная функция двухкаскадного гидравлического усилителя с соплами — заслонкой и золотником имеет вид

или при

В электрогидравлическом приводе, имеющем двухкаскадный гидравлический усилитель с соплами—заслонкой и золотником, электрический управляющий элемент нагружен разностью усилий, возникающих на заслонке при обтекании ее струями рабочей жидкости. В силу этого уравнение динамики электрического управляющего элемента, входящего в совокупность уравнений движения всех элементов привода, должно быть составлено с учетом этих усилий.

Из сопоставления уравнений движения двухкаскадных гидравлических усилителей заключаем, что динамические свойства этих усилителей могут быть приближенно описаны передаточной функцией апериодического звена.