2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ УСИЛИТЕЛЬНОГО УСТРОЙСТВА БЕЗ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ

Динамика работы непрерывного усилительного устройства [6] может быть описана при помощи нелинейных функций двух аргументов

где аргументы или являются функциями независимой переменной

В выражении (1.1) в качестве входного сигнала усилителя может быть принята функция или соответствующая, например, функции тока или напряжения (расхода рабочего тела или давления).

Связь между установившимися значениями входа и выхода усилителя может быть представлена графически, как показано на рис. 1.2, а и б. Кривые имеющие в качестве параметра фиксированные значения и изображенные на рис. 1.2, б, называются обобщенными нагрузочными характеристиками усилительного устройства. Эти статические нагрузочные характеристики получают обычно экспериментальным путем; при этом задаются некоторыми величинами параметра и нагрузки и фиксируют соответствующие значения на выходе усилителя. Нагрузочные характеристики или используются в качестве исходных при анализе динамики усилителя.

Если сложная функция имеет непрерывные частные производные и в рабочей точке М на поле нагрузочных

характеристик, а функции дифференцируемы при , то

Рис. 1.2. Сложная функция или семейство нагрузочных характеристик усилителя: а - в координатах б — в координатах

Частные производные суть дифференциальные значения статического коэффициента передачи (проходного сопротивления) и обобщенного выходного (внутреннего) сопротивления усилителя, соответствующие точке М. Таким образом,

Заметим, что величина, обратная , т. е. называется обобщенной выходной проводимостью [4]; обобщенным входным сопротивлением; обобщенной входной проводимостью усилителя.

Изменение мгновенного положения рабочей точки (например, из в плоскости аргументов характеризуется полным дифференциалом нелинейной функции

являющимся главной частью полного приращения этой функции, линейной относительно приращений и ее аргументов.

Имея в виду линеаризацию нелинейной функции нескольких переменных по степеням малых приращений этих переменных, взятых в окрестности их значений (например, точки М), соответствующих квазиустановившемуся режиму работы усилителя, вместо выражения (1.4) можно записать (см. рис. 1.1, а)

Пусть уравнение нагрузки, связывающее функции является линейным дифференциальным уравнением порядка с постоянными коэффициентами характеризующими физические параметры обобщенного сопротивления нагрузки:

Уравнение (1.6), записанное в операторной форме относительно приращений, имеет вид

Заметим, что уравнение (1.7) соответствует нагрузке усилителя, имеющей инерционный (индуктивный) характер.

Исключая из выражения (1.5) приращение связанное с соотношением (1.7), получим дифференциальное уравнение нагруженного усилителя

или

Аналогично можно получить

Если выражение будет иметь вид

что соответствует нагрузке, имеющей упругий (емкостной) характер, то уравнения нагруженного усилительного устройства записываются следующим образом:

Переходя в уравнениях (1.7) и (1.10) к изображениям при нулевых начальных условиях, получим соответствующие обобщенные передаточные функции нагрузки

Наконец, из выражений (1.8), (1.9), (1.11)-(1.14) с учетом соотношений (1.3) получим передаточные функции усилительного устройства без обратной связи:

Передаточными функциями (1.15)-(1.18) следует пользоваться, если реактивными составляющими проходного и выходного сопротивлений усилительного устройства можно пренебречь.

Передаточные коэффициенты усилителя в режиме холостого хода (т. е. при ), соответствующие передаточным функциям (1.16) и (1.18), имеют вид

Пра дальнейшем рассмотрении работы усилительного устройства в основном ограничимся анализом передаточной функции (1.16).

Из соотношений (1.9), (1.7) и (1.5) имеем

Правой части выражения (1.19) можно поставить в соответствие, например, обобщенную структурную схему нагруженного усилителя

(рис. 1.3, а) и передаточную функцию, учитывающую обобщенное комплексное проходное и выходное сопротивление усилителя. Итак, имея в виду выражения (1.19), (1.16) и (1.13), получим

или

где обобщенные (комплексные) проходное и выходное сопротивления усилителя

К — обобщенный передаточный коэффициент нагруженного усилителя, не охваченного обратной связью; — обобщенная нормированная передаточная функция усилителя.

Рис. 1.3. Обобщенные структурные схемы нагруженного усилителя: а — в виде трех последовательных динамических звеньев; б — в виде двух параллельных звеньев

В выражениях (1.23) и (1.24) коэффициенты и сусуть внутренние физические параметры усилительного устройства. Из соотношений (1.3) и уравнений (1.23) и (1.24) следует, что

Таким образом, по аналогии с выражением (1.21) можно записать систему обобщенных передаточных функций от параметра к параметрам учитывающих комплексное выходное и проходное сопротивления усилителя и комплексное сопротивление нагрузки:

Аналогично системе (1.26) можно получить обобщенные передаточные функции от параметра к параметрам

при индуктивной нагрузке и

при емкостной нагрузке

Как видно из выражения (1.21) и рис. 1.3, а, обобщенная структурная схема нагруженного усилительного устройства, имеющего передаточную функцию представляет собой последовательное соединение трех динамических звеньев: двух звеньев однонаправленного действия и одного звена двухнаправленного действия.

Звено двухнаправленного действия является звеном с естественной обратной связью характеризующей эффект уменьшения выходного параметра усилителя за счет его комплексного внутреннего сопротивления

Обобщенная структурная схема усилительного устройства, соответствующая выражению (1.20), представляет собой два параллельных звена, как показано на рис. 1.3. б. Передаточная функция в этом случае имеет вид

где — обобщенная передаточная функция усилителя от параметра к параметру

Нетрудно заметить, что

т. е. структурные схемы, представленные на рис. 1.3, а и б, эквивалентны между собой.