4. РЕАЛИЗАЦИЯ ЗАДАННОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ В ВИДЕ СХЕМЫ ПАССИВНОГО ЛИНЕЙНОГО КОРРЕКТИРУЮЩЕГО УСТРОЙСТВА

Сформулируем требования, которым должны удовлетворять входные импеданцы (адмитанцы) конечной линейной пассивной цепи с сосредоточенными параметрами. Физические особенности линейных пассивных цепей с конечным числом сосредоточенных элементов

налагают на возможные аналитические выражения передаточных функций некоторые ограничения. Ниже формулируются ограничения, при выполнении которых передаточная функция физически осуществляется в виде конечной пассивной линейной цепи типа RC.

Для линейной пассивной цепи с сосредоточенными параметрами функции, представляющие собой отношение напряжений и токов, импеданц или адмитанц, можно записать в виде отношения двух полиномов относительно переменной так как для их определения требуется решать конечное число совместных уравнений типа (X 1.72) с учетом (XI.73).

Входные импеданцы должны удовлетворять следующим условиям:

все полюса и нули должны быть простыми и располагаться на отрицательной части действительной оси плоскости (причем полюса и нули должны чередоваться);

ближайшим к началу координат, т. е. наименьшим по модулю, должен быть полюс, а наиболее удаленным от начала координат — нуль.

При наиболее характерном расположении нулей и полюсов функция входного импеданца, например имеет следующий вид:

где величины являются действительными положительными числами.

Рис. XI.27. Распределение полюсов и нулей для входных импеданцев С-цепи

Изменение входного импеданца цепи RC вдоль вещественной оси о изображено графически на рис. XI.27. Следует указать еще на две характеристики

б) величина отрицательна для всех значений а.

Функцию вида (XI.67) можно разложить на простые дроби:

Каждый из вычетов так же как и постоянная является положительной величиной. Условия реализации функций, представляющих входные адмитанцы, отличаются тем, что в этом случае ближайшим к началу координат является нуль, а наиболее удаленным — полюс.

Для цеци RC величина должна иметь простые полюса, расположенные на отрицательной части действительной оси плоскости На нуль передаточного импеданца не накладывается каких-либо

либо ограничений, и они могут располагаться в любой точке плоскости

Определим требования, которым должна удовлетворять передаточная функция лестничной пассивной цепи с сосредоточенными параметрами. Из рассмотрения типовых передаточных функций четырехполюсников, приведенных в таблицах приложений I и II, следует, что они полностью определяются одной из двух групп функций или Рассмотрим случай, когда источник с нулевым внутренним сопротивлением работает на разомкнутую цепь: начале координат не может иметь полюса, так как входной импеданц не может иметь нуль при нулевой частоте, Передаточные функции других типов также не могут иметь полюс при нулевой частоте.

В бесконечности передаточная функция лестничного RC-четырехполюсника также не может иметь полюса, так как при высоких частотах цепь RC переходит в простую цепь, состоящую из сопротивлений, и напряжение на выходе цепи должно быть конечным.

Чтобы показать, какие ограничения накладываются на расположение нулей передаточной функции, надо разобраться в происхождении этих нулей. Так как имеется всего один путь от входных зажимов до выходных — через лестничную цепь, то нуль передачи может возникнуть только в двух случаях: либо при некоторой частоте импеданц некоторого последовательно включенного звена становится равным бесконечности, либо адмитанц параллельной ветви при некоторой частоте делается равным бесконечности.

Нули передаточной функции лестничного -четырехполюсника должны располагаться на отрицательной части действительной оси, так как полюса импеданцев последовательных звеньев или адмитанцев параллельных ветвей находятся исключительно на этой части действительной оси; нули могут иметь любую кратность. Так, например, нуль второго порядка можёт быть получен с помощью двух последовательных звеньев, создающих нули передачи при одном и том же значении с помощью двух параллельных ветвей или с помощью одного последовательного и одного параллельного звеньев.

Определение функций или по заданной передаточной функции. Первым шагом при синтезе передаточных функций цепей является определение функций или по заданной передаточной функции.

Передаточную функцию можно записать в следующем виде:

Разобьем знаменатель на сумму двух многочленов

и представим в виде

На практике чаще всего встречается случай, когда В этом случае при выражение необходимо привести к виду

Преобразуем выражение (XI.71) к виду

Сравнивая уравнения (XI.72) и (XI.73), находим

Существует бесконечное число различных пар функций которые обеспечивают требуемое отношение напряжений. При выборе помнить, что обе функции должны реализоваться в виде цепи RC.

Рис. XI.28. Разбиение многочлена на многочлены

Предъявим требование, чтобы имели совпадающие полюса, что выполнимо во всех случаях.

Функция должна иметь полюса и нули, чередующиеся на отрицательной части действительной оси, причем ближайшим от начала координат должен быть нуль.

Способ разбиения величины на иллюстрируется на рис. XI.28. Если в качестве используются любые многочлены с простыми чередующимися нулями, то нули их суммы располагаются между парами нулей соответственно, что и является критерием разбиения на Нули т. е. нули числителя передаточной функции лестничной цепи RC, располагаются на отрицательной части действительной оси, имеют любую кратность и могут находиться в начале координат и в бесконечности.

Синтез передаточных функций с отрицательными действительными нулями. После того как по заданной передаточной функции

найдены функции остается по этим функциям синтезировать четырехполюсник в виде такой лестничной цепи, которая реализует как функцию так и Следует еще раз подчеркнуть, что в большинстве случаев передаточная функция цепи определяется двумя из следующих трех характеризующих функций: или Лишь в случае, когда заданы сопротивление источника сигнала сопротивление нагрузки , синтез требует реализации всех трех характеризующих функций. Однако этот случай можно обычно свести к одному из более простых случаев следующим образом. Рассматривая или как часть синтезируемой цепи и проводя синтез так же, как в одном из простейших случаев, стремимся к тому, чтобы часть требуемого сопротивления на входе цепи реализовалась за а сама цепь заканчивалась с требуемым нагружением

Функция может быть реализована при помощи бесчисленного множества RC-цепей, из которых требуется выбрать такую цепь, которая одновременно реализовала бы нули функции (полюсы функций всегда совпадают). Реализовывать функцию будем, начиная со стороны выходных зажимов четырехполюсника по направлению к входным клеммам Если содержит нуль , являющийся одновременно нулем то первым этапом при синтезе -четырехполюсника будет реализация этого нуля , следовательно, нуля Рассматриваемый нуль может быть реализован с помощью последовательного звена лестничного -четырехполюсника (рис. XI.29), имеющего импеданц с полюсом где — вычет функции в точке . Импеданц легко может быть реализован в виде параллельного соединения резистора и конденсатора С, величины которых определяем по формулам

Оставшаяся после реализации функция (рис. XI.29) не содержит уже нуля при . Если же функции общего нуля не имеют, то вводя на выходе четырехполюсника параллельную ветвь с адмитанцем необходимо сместить несколько нули функции и образовать для нее нуль, совпадающий с одним из нулей Адмитанц может быть равен либо положительному числу что соответствует включению на выходе четырехполюсника параллельного шунтирующего резистора (рис. XI.30, а), либо адмитанца что соответствует параллельной ветви в виде последовательного соединения резистора и конденсатора С (рис. XI.30, б), величины которых вычисляем по формулам

Оставшаяся после реализации адмитанца функция представляет собой входной адмитанц четырехполюсника со стороны клемм и ее нуль совпадает с одним из нулей Далее этот нуль реализуется так же, как это было изложено выше (рис. XI.29).

Рис. XI.29. Схема реализации нуля с помощью последовательного звена

Рис. XI.30. Схема смещения нуля для функций с помощью адмитанца а — для случая ; б — для случая

При образовании функции нужно помнить, что она должна удовлетворять условиям реализации в виде RС-цепи, сформулированным выше.

Таким способом реализуются все нули совпадающие с нулями

Рис. X 1.31. Схема реализации входного импеданца

Функцию оставшуюся после реализации всех нулей реализуем одним из известных способов синтеза входного импеданца двухполюсника. Например, можно разложить на простые дроби:

Если удовлетворяет условиям реализуемости цепи все коэффициенты равны действительным положительным числам или нулям и все вещественны и положительны. Соответствующая цепь реализации изображена на рис. XI.31.

Другой способ реализации в виде «лестничной» цепи будет изложен в одном из приведенных ниже числовых примеров. Он состоит в непрерывном разложении на дроби.

Пример XI. 2. Пусть дано

Определив корни характеристического уравнения получим

Выбираем функцию таким образом, чтобы ее нули чередовались с нулями что является критерием разбиения на

Множитель введен для того, чтобы многочлен также имел действительные отрицательные корни:

Корни уравнений чередуются между собой.

Определим функции

Рис. XI.32. Реализация передаточной функции

Будем теперь реализовать функцию с помощью такой RC-схемы, которая учитывала бы нули

График в функции действительного отрицательного значения а (рис. XI.32) показывает, что ни один из нулей не совпадает с нулями функции

Поэтому при реализации наименьшего по модулю нуля функции первым шагом будет образование нуля при для функции Поскольку значение при составляет —0,22, то образование нуля функции в точке путем вычитания из положительной постоянной (проводимости) невозможно.

Рассмотрим другой способ образования нуля при , заключающийся в перемещении нуля из точки в точку . Он заключается в выделении и реализации некоторой части функции при полюсе Обозначим эту часть в виде Такой адмитанц реализуется путем последовательного соединения резистора и емкости С, причем

Найдем значение для которого

откуда имеем

Искомая часть будет равна

Реализация начинается с синтеза на выходе четырехполюсника шунтирующей ветви с резистором и емкостью Оставшаяся функция

содержит нуль при (рис. XI.32). Рассмотрим далее Выделим из нее и реализуем часть, соответствующую полюсу тем самым будет реализован нуль функции при Для этого определим вычет функции для Он оказывается равным 1,76. Затем, вычитая составляющую импеданца соответствующую этому полюсу, получим остаток:

График приведенный на рис. XI.32, показывает, что функция удовлетворяет условиям реализации в виде цепи RC. Все конечные нули реализованы.

Двукратный нуль функции получается попутно при реализации оставшейся функции в виде «лестничной» цепи. Функция представляет собой дробно рациональную функцию, которую можно представить в виде непрерывной дроби путем последовательного деления: числитель делим на знаменатель и представляем как сумму частного 0,43 и единицы, деленной на обращенный остаток. Те же действия выполняем со стоящим в знаменателе обращенным остатком и т. т. е.

Функцию представленную в виде непрерывной дроби, достаточно просто реализовать при помощи «лестничной» цепи (рис. XI.33). Сначала реализуется импеданц 0,43, затем адмитанц далее импеданц 0,062 и адмитанц 48,5. Цепь заканчивается импеданцем Она содержит два параллельно включенных конденсатора, реализующих двукратный нуль

Замыкая синтезированный четырехполюсник на нагрузочное сопротивление в 1 Ом, получим необходимый четырехполюсник (рис. XI.33, а)

Пример XI.3. Рассмотрим более сложную передаточную функцию

После определения корней получим

Выбираем значение

Полином будет иметь следующий вид:

Затем находим

Реализуем прежде всего нуль при Для перемещения нуля из точки в точку надо из вычесть адмитанц

Рис. XI.33. Четырехполюсники с питанием от генератора передаточной функцией б - с передаточной Функцией

Получим Реализация начинается с синтеза шунтирующей ветви с резистором и расчета оставшейся функции:

Выделим из полностью полюс Для этого определим вычет для Далее вычитаем составляющую импеданца соответствующую этому полюсу. Здесь — импеданц последовательного звена. Остаток определяется по формуле

Простым вычитанием сопротивления можно обеспечить нуль функции в точке совпадающий с нулем Остаток определим по формуле

Для реализации нуля функции в точке выделим из функции полюс

Определим сначала вычет для он равен —1015.

Будем находить адмитанц -реализующий нуль Коэффициент определим из уравнения

Реализовав с помощью последовательно соединенного резистора и емкости получим остаток

Можно образовать нуль в точке выделением части полюса при В этом случае переместим нуль при в точку Выражение для импеданца будет иметь вид

Коэффициент вычисляется из уравнения

Реализовав получим остаток

Выделим из функции полностью полюс Вычет функции при Реализуем адмитанц где определим из уравнения

В результате получим

откуда найдем остаток

Последний йуль при можно образовать простым вычитанием сопротивления из функции

Остаток получится равным

Обратную величину можно представить следующим образом:

Реализуем функцию виде параллельной ветви из резистора и емкости Затем найдем последний резистор Замыкая четырехполюсник, на нагрузочный резистор в 1 Ом, получим требуемый четырёхполюсник изображенный на рис. XI.33,б.

Синтез передаточных функций с комплексными нулями.

Выше был описан метод синтеза «лестничных» RC-четырехполюсников для случая отрицательных действительных нулей. Рассмотрим передаточные функции, содержащие комплексные нули. Сохраним только требование отсутствия нулей на вещественной части действительной оси.

Первый этап синтеза состоит также в определении по заданной передаточной функции функций Так как процесс реализации в случае отрицательных действительных нулей известен, то можно попытаться разложить на составляющие, нули которых находились бы на отрицательной части действительной оси. Учитывая последнее, рассмотрим параллельное соединение «лестничных» -четырехполюсни-ков, показанное на рис. XI.34.

Рис. XI.34. Параллельное соединение четырехполюсников

Очевидно, в случае параллельного соединения результирующая функция равна сумме функций отдельных четырехполюсников; то же относится и к функциям Пусть

и

Запишем в виде суммы более простых функций:

Числитель последнего члена содержит одну или две составляющие в зависимости от того, является четным или нечетным. Каждую отдельную составляющую функции теперь можно реализовать вместе с заданной в виде «лестничного» -четырехполюсника, так как нули передачи целиком лежат на отрицательной части действительной оси, включая начала координат и бесконечность.

Таким образом, синтезируются или при четном звеньев. Желаемые функции реализуются путем параллельного соединения этих звеньев.

Представим в виде

где или — коэффициенты передачи отдельных составляющих Предполагается, что коэффициенты передачи самих равны единице.

При реализации составляющих звеньев мы не имеем возможности контролировать величины коэффициентов передачи Они, без сомнения, будут отличаться от Поэтому если соединить отдельные «лестничные» цепи параллельно, то результирующая будет отлична от исходной.

Изменим полученные функции каждой цепи в раз, где еще не известен. Результирующая функция построенная по заданной имеет вид

Изменения в функциях приведут к изменению Результирующая функция построенной цепи:

Для того чтобы полученная функция была равна заданной должно выполняться условие

Итак, для построения параллельного «лестничного» -четырехполюсника необходимо выполнить следующие операции:

записать числитель заданной функции в виде суммы слагаемых, каждое из которых имеет нули только на отрицательной части действительной оси;

построить по заданной функции составляющие «лестничные» С-цепи, каждая из которых реализует нули одной из составляющих функций

найти коэффициент передачи каждой С-цепи; вычислить значение по формуле (X 1.81);

изменить передаточный адмитанц цепи в

соединить отдельные RС-цепи параллельно на входе и выходе.

Пример XI.4. Пусть задана передаточная функция вида

Определим как тогда

Функции примут вид

Разложим числитель на два полинома, каждый из которых имеет нули только на отрицателъной части действенной оси

на основании которого две составляющие функции равны соответственно:

Построим сначала RC-цепь для Выделим полностью полюс функции

Реализовав в виде шунтирующеи цепи из последовательно соединенных резистора и емкости получим остаток

Поскольку имеет нуль в начале координат, надо сместить в эту точку нуль у путем реализации

Полюс начале координат реализуется затем как последовательная емкость, а остающаяся функция — как активное сопротивление. Принципиальная схема изображена на рис. XI.35, а.

Рис. XI.35. Реализация передаточной функции с помощью схем четырехполюсника

Теперь реализуем цепь с При этом содержит нуль при который является одним из нулей Реализуем его в первую очередь. Для этого представим:

Реализовав получим остаток

Другой нуль находится в бесконечности. Поэтому вычтем из его значение при равное . Реализовав получим остаток

Функция представляется в виде шунтирующей емкости и последовательного резистора Принципиальная схема изображена на рис. XI.35, б.

В заключение вычислим коэффициенты передачи непосредственно из схем рис. XI.35, а и б. Устремляя частоту соответственно к бесконечности и нулю, находим

Рис. XI.36. Параллельное соединение двух четырехполюсников, реализующих передаточную функцию

Из выражений для определим (при нулевой частоте) и (при бесконечной частоте). Используя уравнение (XI.81), находим

Следовательно, полученная функция должна быть изменена в раз, для чего необходимо в цепи, приведенной на рис. XI.35 а, умножить все емкости на а все резисторы разделить на этот коэффициент. Построенную функцию необходимо изменить в Раз Результирующая RС-цепь приведена на рис. XI.36.