2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ ПАССИВНЫХ КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ

В качестве схем корректирующих устройств часто используют пассивные четырехполюсники типа RC, не имеющие индуктивностей. Это особенно важно в системах, работающих в диапазоне низких частот, для которых трудно изготовить индуктивности

небольших размеров. Следует отметить, что несмотря на значительные ограничения, которые накладываются на реализуемую передаточную функцию при отказе от использования индуктивностей, такие четырехполюсники являются достаточно гибкими. Поэтому любая заданная амплитудно-частотная характеристика может быть аппроксимирована с любой степенью точности при использовании лишь резисторов и емкостей [4].

Широко известны типовые корректирующие цепи постоянного тока, реализующие большой класс передаточных функций. В общем же случае для реализации сложной передаточной функции в виде RC-четырехполюсника необходимо использовать некоторые вопросы теории синтеза цепей. Задача синтеза состоит в нахождении цепи, которая будет обладать заданной передаточной функцией.

Рис. Х.3. Схемы четырехполюсников: а — «лестничный» четырехполюсник; -образная схема, реализующая передаточную функцию

В качестве основной схемы четырехполюсника принимаем схему, показанную на рис. Х.3, а. Данная схема не сбалансирована относительно земли, что важно для практического применения. Эти RC-четырехполюсники дают возможность реализовать передаточные функции, содержащие нули и полюса, расположенные на отрицательной части действительной оси плоскости комплексной переменной Для реализации комплексных нулей, расположенных как в левой, так и в правой полуплоскости, можно рекомендовать параллельное соединение нескольких «лестничных» четырехполюсников. Передаточные функции, содержащие нули, расположенные на положительной части действительной оси, реализуются лишь с помощью схем, сбалансированных относительно земли, например. Х-образных схем (рис. Х.3, б). Если передаточная функция содержит полюса в любой части левой полуплоскости, то для ее реализации целесообразно применять активные четырехполюсники, рассмотренные в § 3 настоящей главы.

Ниже будет рассмотрен лишь метод синтеза RC-четырехполюсников, позволяющих реализовать передаточные функции с нулями, расположенными как в левой, так и правой полуплоскости, исключая положительную часть действительной оси, и с полюсами, расположенными на отрицательной части действительной оси.

Методика синтеза электрических цепей, реализующих определенные частотные характеристики, особенно важна для схем, в которых затруднено использование разделяющих усилителей. Если такие усилители могут быть применены, то требуемую передаточную функцию легко реализовать с помощью дифференцирующих, интегрирующих и интегродифференцирующих четырехполюсников.

Рис. Х.4. Четырехполюсники с тремя интегрирующими звеньями: а — с разделяющими усилителями; б — без разделяющих усилителей

Для схемы, изображенной на рис. Х.4, а, общая передаточная функция равна произведению передаточных функций трех звеньев, т. е.

где

Если разделительные усилители не могут быть использованы, то передаточную функцию, определяемую выражением реализовать сложнее. При простом последовательном соединении отдельных четырехполюсников (рис. Х.4, б) желаемой передаточной функции не получается, поскольку имеет место влияние последующего звена на предыдущее.

Анализ электрических цепей.

На рис. Х.5, а изображена произвольная линейная электрическая цепь с сосредоточенными параметрами, имеющая двустороннее питание. В общем случае она может быть активной, т. е. содержать источники электрической энергии. Применяя второй закон Кирхгофа, можно записать систему линейных интегрально-дифференциальных уравнений

где общая индуктивность контуров и к, причем знак плюс относится к случаю, когда положительные направления токов в общей ветви совпадают; при имеем:

— сумма всех индуктивностей контура;

— сопротивления соответственно общей ветви и контура;

и — величины, обратные емкостям общей ветви и контура.

Систему уравнений можно переписать в следующем виде:

где — контурные токи;

— контурные э. д. с.

Рис. Х.5. Схемы электрических цепей: а — общая схема с двусторонним питанием; б — схема двухполюсника; в — схема четырехполюсника

Преобразование Лапласа дает возможность найти решение для любого источника напряжения. Считая начальные условия нулевыми, можно записать систему в виде

где

Тогда изображение контурного тока находится по формуле

где — определитель системы (Х.4);

— алгебраическое дополнение.

На рис. X.5, б изображена самая простая электрическая цепь — двухполюсник. Он содержит всего одну пару клемм для соединения с внешней цепью. Двухполюсник характеризуется только одной

функцией — входным импеданцем, т. е. отношением Это отношение можно получить из формулы положив равными нулю все э. д. с., кроме Таким образом,

Очевидно, что двухполюсника является рациональной функцией с вещественными коэффициентами. Это справедливо и для адмитанца двухполюсника Нули и полюса являются соответственно корнями представляющими собой собственные частоты электрической цепи соответственно при замкнутых накоротко и разомкнутых зажимах. Очевидно, что нули и полюса не могут находиться в правой половине комплексной плоскости, т. е. они будут либо вещественными и отрицательными, либо комплексными с отрицательной вещественной частью. Комплексные нули и полюса должны составлять сопряженные пары, чтобы обеспечить вещественность коэффициентов.

На рис. Х.5, в изображен четырехполюсник, т. е. электрическая цепь с двумя парами клемм. Свойства четырехполюсника определяются соотношениями между входными и выходными напряжениями и токами. Одно такое соотношение можно получить из уравнения сведением к нулю всех напряжений, за исключением

где

Если решить уравнение относительно Е, то можно записать

где