§ 6. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ (ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ)

1. Раскрытие неопределенности вида 0/0

Будем говорить, что отношение двух функций представляет собой при неопределенность вида , если

Раскрыть эту неопределенность — это значит вычислить предел (при условии, что этот предел существует).

Аналогично вводится понятие неопределенности вида — при при а также при

Следующая теорема дает правило раскрытия неопределенности вида — для предела в точке а.

Теорема 6.9 (первое правило Лопиталя. Пусть множество представляет собой проколотую -окрестность точки а, функции определены и дифференцируемы на и, кроме того, производная не обращается на в нуль. Пусть, далее,

Тогда если существует (конечный или бесконечный) предел

то существует и предел

причем справедливо соотношение

Теорема 6.9 дает правило раскрытия неопределенности вида сводящее вычисление предела в точке а отношения двух функций к вычислению предела в этой точке отношения производных этих функций.

Доказательство. Пусть — произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к а и состоящая из чисел отличных от а. Доопределим функции в точке а, положив их равными нулю в этой точке. При таком доопределении функции окажутся непрерывными всюду на множестве дополненное точкой а, т. е. всюду в -окрестности точки а. В самом деле, непрерывность во всех точках -окрестности точки а, за исключением самой точки а, вытекает из их дифференцируемости в этих точках, а непрерывность в точке а вытекает из того, что в силу нашего доопределения этих функций их пределы в точке а равны частным значениям в этой точке.

Учитывая, что все элементы последовательности принадлежат множеству , рассмотрим произвольный сегмент, ограниченный точками а и

В силу сказанного выше обе функции будут непрерывными на таком сегменте. Кроме того, функции дифференцируемы во всех внутренних точках указанного сегмента, и производная не обращается в этих внутренних точках в нуль.

Это дает нам право применить к функциям по указанному сегменту, ограниченному точками а и теорему Коши 6.8.

В силу этой теоремы между точками а и найдется точка такая, что справедливо равенство

Учитывая, что по нашему доопределению функций справедливы равенства мы можем переписать соотношение (6.21) в виде

Пусть теперь в соотношении (6.22) номер стремится к бесконечности, тогда Поскольку заключено между а и то и при . В. силу существования предела (6.18) и определения предела функции по Гейне правая часть (6.22) имеет предел при , равный пределу (6.18). Значит, тот же самый предел при имеет и левая часть (6.22). В силу произвольности последовательности значений аргумента сходящейся к а, и в силу определения предела функции по Гейне существование

равного (6.18) предела при левой части (6.22) означает существование предела функции (6.19), также равного (6.18).

Итак, в пределе из (6.22) при мы получаем соотношение (6.20). Теорема доказана.

Замечание 1. Правило Лопиталя «действует» не всегда, т. е. предел отношения функций (6.19) может существовать и в случае, когда предела отношения производных (6.18) не существует.

Например, при существует предел в то время как предел не существует в силу того, что не существует предел , а предел существует и равен нулю).

Замечание 2. Если к условиям теоремы 6.9 добавить требование непрерывности производных в точке а, то при условии соотношение (6.20) можно переписать в виде

Замечание 3. Если производные удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции то правило Лопиталя можно применять повторно, т. е. предел отношения первых производных функций можно заменить пределом отношения вторых производных этих функций. Мы получим при этом, что

Примеры. 1)

2) Следующий предел вычисляется двукратным применением правила Лопиталя:

3) Трехкратным применением правила Лопиталя вычисляется предел

Мы рассмотрели вопрос о раскрытии неопределенности вида для случая предела в точке а. Совершенно аналогичные результаты справделивы и для случаев предела в точке а справа [слева], предела при , а также предела при

Мы сейчас убедимся в том, что теорема 6.9 остается справедливой в каждом из следующих трех случаев:

1) в случае, если в этой теореме в качестве множества С взять интервал [соответственно а все пределы (6.17) — (6.20) взять при [соответственно при

2) в случае, если в теореме 6.9 в качестве взять множество всех точек, лежащих вне сегмента а все пределы (6.17) — (6.20) взять при ;

3) в случае, если в теореме 6.9 в качестве множества взять полупрямую [соответственно а все пределы (6.17) — (6.20) взять при [соответственно при

Случай 1. В этом случае остается справедливой вся схема доказательства теоремы 6.9, только вместо последовательности сходящейся к а и состоящей из чисел отличных от а, следует взять последовательность точек интервала [соответственно сходящуюся к а. Детали рассуждений предоставляем читателю.

Случай 2. Пусть функции определены и дифференцируемы всюду вне сегмента при некотором и производная не обращается в нуль вне указанного сегмента. Путь, кроме того, существует предел

Сделаем замену переменной и положим Тогда, очевидно, функции будут определены и дифференцируемы в проколотой

-окрестности точки и производная

не будет обращаться в нуль в указанной проколотой -окрестности.

Кроме того, в силу существования предела (6.18) существует предел

Но тогда в силу теоремы 6.9 существует и предел

причем справедливо соотношение (6.20), принимающее (в силу (6.23) и вид

Рассмотрение случая 2 завершено.

Случай 3. В этом случае действует та же замена что и в случае 2, однако на этот раз эта замена сводит рассмотрение предела при к пределу при рассмотренному в случае 1. Детали рассуждений предоставляем читателю.

Примеры. 1) Вычислить - (для любого Этот пример относится к случаю 1. Применяя правило Лопиталя, получим

2) Вычислить (этот пример относится к случаю 2).

Применяя правило Лопиталя, получим