4.3.3. ЭФФЕКТИВНОСТЬ

Кроме математического ожидания, важными характеристиками случайной величины и ее распределения являются среднее квадратичное отклонение и дисперсия. Обе они представляют собой меры рассеяния случайной величины Z и определяются следующим образом:

Дисперсия — это средний квадрат отклонения случайной величины от ее математического ожидания; среднее квадратичное отклонение — это квадратный корень из дисперсии.

Так как в проводимых на практике выборочных обследованиях объем выборки можно считать достаточно большим, то оценки, как правило, имеют нормальное или близкое к нормальному распределение. Поэтому среднее квадратичное отклонение оценки становится количественно интерпретируемой мерой возможного отклонения значения оценки от своего математического ожидания. При выборочном обследовании для любой характеристики рассчитывается только одна оценка и повторных обследований не проводится. Разброс оценки делается поэтому неявным. Все же среднее квадратичное отклонение описывает поведение оценки при любом числе возможных повторении (реализаций).

Значение нормально распределенной оценки будет находиться:

с вероятностью 0,683 на расстоянии не более о от математического ожидания;

с вероятностью 0,955 на расстоянии не более от математического ожидания; с вероятностью 0,99 на расстоянии не более от математического ожидания.

Среднее квадратичное отклонение оценки показывает порядок величины случайной ошибки (К — k) и является

удобной мерой точности метода оценивания. Приведем здесь цитату из книги [27, с. 50] о стандартных ошибках оценок: «Итак, в отдельном случае очень возможно, что действительное отклонение превзойдет удвоенную стандартную ошибку, но в большинстве случаев фактически получающиеся ошибки выборки меньше стандартной ошибки. Поэтому обычное указание стандартной ошибки дает реалистичное представление о величине получающихся отклонений. Опыт показал, что указание удвоенной стандартной ошибки вызывает у неспециалиста представление о том, что отклонения, определяемые этой величиной, действительно часто имеют место. Это влечет за собой завышенные требования к максимально допустимой величине стандартной ошибки».

Среднее квадратичное отклонение (стандартная ошибка) — удобная мера для сравнения эффективности оценок. Пусть — две функции оценки (при одинаковом объеме выборки ) с дисперсиями

Функцию оценки называют более эффективной, чем функцию оценки , если

Если возможно несколько функций оценки, то самой эффективной называют ту из них, у которой дисперсия минимальна. Если частное

больше единицы, то следует предпочесть функцию оценки , а если меньше, то . Понятие эффективности непосредственно связано со стандартной ошибкой соответствующей функции оценки и вместе с несмещенностью и состоятельностью она является важным критерием при выборе подходящей функции оценки.