6. Расслоенный отбор

6.1. МОДЕЛЬ ОТБОРА, ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

В гл. 5 описывался способ отбора, при котором единиц выборки отбирались из совокупности объема с соблюдением принципа случайности по схеме возвращенного или невозвращенного шара:

    (6.1.1)

Цель выборки заключалась в том, чтобы сделать наиболее достоверные выводы о всей совокупности. Единственный способ влиять на точность выборочных оценок состоял при этом в увеличении или уменьшении объема выборки. Пусть совокупность из N единиц состоит из L подмножеств объема таких, что

    (6.1.2)

или ее можно разделить на такие подмножества, и отбор единиц выборки производится раздельно, т. е. из единиц подмножества по правилам простого случайного отбора извлекается единиц выборки:

    (6.1.3)

причем

    (6.1.4)

Такой способ отбора называется расслоенным отбором, a L подмножеств совокупности называются слоями.

В каждом из L слоев отбор и (как будет показано в дальнейшем) оценивание проводятся по правилам, подробно изложенным в гл. 5. Так как цель выборочного обследования — оценивание параметров для всей совокупности из N единиц, то задача выборки состоит в нахождении способов оценивания параметров совокупности по оценкам, найденным для отдельных слоев.

Расслоенный отбор можно поэтому рассматривать с двух точек зрения:

как будет показано в конце настоящего параграфа, а также в 6.2.5, при определенных предпосылках (которые, как правило, выполняются) способ расслоенного отбора обеспечивает более высокую точность результатов выборочного обследования, чем простой случайный отбор при равном объеме выборки . Таким образом, цель может заключаться в том, чтобы расслоить совокупность так, чтобы получить большую точность по сравнению с простыл» случайным отбором при том же объеме выборки или такую же точность при меньшем объеме выборки. Проблема при этом состоит в том, как провести расслоение, чтобы эффект расслоения был возможно более благоприятным. Так, например, сельскохозяйственные производственные кооперативы ГДР можно разделить на слои по величине их сельскохозяйственных угодий или по другому количественному признаку;

совокупность заранее разбита на подмножества и отбор можно проводить только раздельно из каждого слоя. Естественным является расслоение по территориальному признаку, когда слой составляют единицы, расположенные на одной и той же территории. Например, совокупность сельскохозяйственных производственных кооперативов ГДР может быть разделена на слои таким образом, что в качестве слоя будут рассматриваться кооперативы одного округа.

Часто интерес представляют оценки параметров Не только для всей совокупности, но и для отдельных слоев.

В обоих случаях задача выборки состоит в том, чтобы найти подходящий способ перехода от оценок параметров для слоев к оценкам параметров для совокупности.

Кроме обсуждавшихся в гл. 5 проблем определения оценок, их стандартных ошибок и доверительных интервалов, при расслоенном отборе возникает дополнительно проблема разбиения совокупности на слои, если оно не задано a priori, а также проблема распределения единиц выборки между слоями.

При рассмотрении расслоенного отбора мы, как и раньше, ограничимся способами оценивания характеристик совокупности, указанных в 2.2: средних и суммарных значений, долей единиц, попадающих в некоторую определенную группу, числа единиц с определенным признаком и отношений двух суммарных или средних значений.

В этой главе те же обозначения, что и в предыдущих главах. Для обозначения слоя дополнительно введена буква . При суммировании по h этот символ, как обычно, исчезает.

Далее приведена сводка обозначений для расслоенного отбора (см. табл. на стр. 139).

Продемонстрируем теперь преимущества расслоенного отбора на упрощенном числовом примере.

Пусть дана совокупность чисел объема

Среднее значение для совокупности составляет Требуется оценить это среднее с помощью выборки объема Всего возможно выборок.

Выборка, имеющая минимальное среднее значение, содержит числа а выборка, имеющая максимальное среднее значение, — числа Все возможные при простом случайном отборе 35 выборочных средних лежат, таким образом, между экстремальными значениями:

Таблица 6.1. Важнейшие обозначения, используемые при расслоенном отборе

(см. скан)

Мы не будем здесь вычислять стандартную ошибку среднего, а в качестве показателя точности воспользуемся размахом:

Если же совокупность разделена на два слоя таким образом, что в первый слой попадают числа , а во второй — оставшиеся числа , то при том же общем объеме выборки и при условии, что возможны только выборок. Выборочные средние лежат между

и

Расслоенный отбор позволил значительно уменьшить область возможных результатов выборки. Размах теперь составляет:

Если рассматривать размах как некоторую меру точности оценивания, то видно, что применение способа расслоенного отбора при том же объеме выборки приводит к явному повышению эффективности. В этом случае говорят о положительном эффекте расслоения (подробнее об этом см. в 6.2.5).