6.2.9. ОЦЕНИВАНИЕ ПО ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ

Если расслоение совокупности задано, то при оценивании по линейной регрессии, как и по отношению, возможны два способа оценивания суммарного X Переднего X значений результативного признака для совокупности — раздельное и совместное оценивание — и соответственно возможны две функции оценки.

Применяемые здесь обозначения аналогичны употреблявшимся в 5.5; для обозначения слоя вводится дополнительный индекс h (см. общие замечания в 6.2.7.1).

6.2.9.1. Раздельное оценивание по регрессии

При раздельном оценивании по регрессии оценка X суммарного значения признака X для совокупности равна сумме оценок суммарных значений по всем L слоям, определенных с помощью оценивания по регрессии, т. е.

есть оценка суммарного значения результативного признака в слое [см. (5.5.23)]. Тогда оценка раэд суммарного значения X для совокупности (6.2.4) согласно (6.2.83) равна:

— коэффициент регрессии между результативным и факторным признаками для единиц слоя. Он может вычисляться по формуле [см. (5.5.4)]:

Принимая во внимание, что , получим формулу для оценки среднего значения X, аналогичную формуле (5.5.24) из 5.5.3:

Стандартные ошибки оценок (6.2.124) и (6.2.126) получают в соответствии с теоремой о дисперсии суммы попарно независимых случайных величин (6.2.21). Из нее следует, что

Слагаемые в подкоренном выражении представляют собой дисперсии оценок по регрессии (6.2.123) суммарных значений для отдельных слоев по (5.5.25).

Если , то формулу (6.2.127) можно упростить:

Принимая во внимание, что легко найти стандартную ошибку оценки (6.2.126) среднего значения результативного признака. Она равна:

а при

    (6.2.130)

Раздельное оценивание по регрессии позволяет получить оценки параметров и стандартные ошибки этих оценок не только для всей совокупности, но и для каждого слоя в отдельности. Однако при этом необходимо, чтобы объем выборки из каждого слоя был достаточно велик поскольку оценки по регрессии в общем являются смещенными [32], [33].

6.2.9.2. Совместное оценивание по регрессии

В основе совместного оценивания по регрессии лежит следующее соображение: все единиц совокупности, даже если они разбиты на. L слоев, можно представить как единое множество точек на плоскости (координатами каждой точки являются значения факторного и результативного признаков у соответствующей единицы). Поэтому существует единственный коэффициент линейной регрессии между этими признаками. [При раздельном оценивании по регрессии по результатам выборки вычисляются коэффициенты регрессии (6.2.125) для каждого из L слоев.] Этот единственный коэффициент регрессии оценивается по данным выборки по формуле

    (6.2.131)

Этот коэффициент представляет собой некоторое среднее значение из коэффициентов регрессии (6.2.125) для слоев. Его числитель равен сумме числителей, а знаменатель — сумме знаменателей всех L коэффициентов

Коэффициентом регрессии b пользуются при оценивании суммарных значений признака для всех слоев. Функция оценки параметра в данном случае в отличие от (6.2.123) равна:

Тогда оценка суммарного значения признака для совокупности равна:

    (6.2.133)

или

Обе формулы при делении на N (число обследуемых единиц) дают оценку среднего значения X для совокупности. Здесь мы приводим только одну из них:

Стандартные ошибки (при ) вычисляются по формулам:

и

    (6.2.137)

Приведенные здесь формулы (6.2.136) и (6.2.137) согласуются с формулами стандартных ошибок при раздельном оценивании.

6.2.9.3. Сравнение раздельного и совместного оценивания по регрессии

Решая, какую из двух функций оценки использовать, нужно принимать во внимание следующее.

Формулы для оценок при совместном оценивании проще, так как они включают только один коэффициент регрессии. Кроме того, при совместном оценивании предполагается знание лишь суммарного значения Y факторного признака, знание же суммарных значений для слоев не требуется.

При раздельном оценивании нужно вычислять L коэффициентов регрессии, но при этом наряду с оценкой суммарного значения признака X для совокупности получают дополнительно оценки суммарных значений для слоев.

Стандартные ошибки приблизительно совпадают, если значения не сильно отклоняются от общего значения b. В противном случае раздельное оценивание эффективнее.

Необходимой предпосылкой для применения раздела ного оценивания является выполнение требования для всех h, т. е. для каждого слоя, тогда как для применения совместного оценивания достаточно лишь, чтобы , т. е. чтобы общий объем выборки был не меньше 30