5.5.4. СРАВНЕНИЕ ОЦЕНИВАНИЯ ПО РЕГРЕССИИ И ПРЯМОГО ОЦЕНИВАНИЯ

Если имеются предпосылки для использования оценок по регрессии (наличие подходящего факторного признака, знание суммарного значения У или среднего значения Y для совокупности), то следует принять решение о том, какой метод оценивания избрать. Важный критерий выбора —

точность оценивания при одинаковых объемах выборки (см. 5.4.4).

Рассмотрим отношение стандартных ошибок оценки по регрессии (5.5.25) и прямой оценки (5.3.18) среднего значения X для совокупности [соответственно отношение стандартных ошибок оценок суммарного значения X (5.5.27) и (5.3.24)]. Эти отношения равны:

    (5.5.32)

Легко видеть, что они всегда меньше или в крайнем случае (когда равны 1. Отсюда оценивание по линейной регрессии всегда эффективнее прямого оценивания. Равную точность оно дает только при т. е. тогда, когда результативный и факторный признаки не коррелированы. Таким образом,

То же самое верно и для оценивания суммарного значения.

Если то при прямом оценивании для достижения равной величины стандартных ошибок требуется больший объем выборки, чем при оценивании по регрессии. Предположим, что при стандартные ошибки при обоих способах равны между собой, т. е. Тогда, рассматривая стандартную ошибку как функцию объема выборки при , получим:

    (5.5.34)

( — объем выборки при оценивании по регрессии, — объем выборки при прямом оценивании с такой же точностью). Следовательно,

    (5.5.35)

или

    (5.5.36)

Множитель показывает, с одной стороны, уменьшение дисперсии оценки при применении оценивания по регрессии по сравнению с прямым оцениванием при одинаковом

объеме выборки, а с другой стороны, при одинаковой точности — возможное уменьшение объема выборки при оценивании по регрессии. Формула (5.5.36) вместе с результатами из 5.3.4 может применяться для определения необходимого объема выборки при оценивании по регрессии. Конечно, при этом требуется хотя бы приблизительно знать коэффициент корреляции . Можно сначала определить объем выборки , который бы удовлетворял требованиям к степени точности при прямом оценивании, а затем, умножая на окончательно рассчитать необходимый объем выборки для оценивания по регрессии.