6.2.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМА ВЫБОРКИ

Подробное обсуждение различных показателей тоаности, с помощью которых можно выражать требования к оценкам, проводилось нами в 5.3.4.1. Здесь же мы ограничимся рассмотрением стандартной ошибки оценки. В основе всех других показателей точности (относительной стандартной ошибки, предельной ошибки выборки, абсолютной и относительной) лежит также стандартная ошибка. Поэтому приведенные далее формулы могут быть легко преобразованы соответствующим образом в зависимости от заданного показателя точности. В предыдущих параграфах мы исходили из того, что объем выборки полагался заданным, и в качестве показателей точности оценивания мы вычисляли стандартные ошибки , которые использовали также для построения доверительных интервалов. Теперь будем считать заданными показателями точности. Требуется найти такой объем выборки, при котором стандартные ошибки оценки не превышали бы заданной величины.

Решение этой задачи имеет большое значение для разумного планирования и проведения выборочного обследования. Следует избежать, с одной стороны, чрезмерной точности, получающейся при слишком большом объеме выборки (т. е. при слишком больших затратах) и не нужной для достижения поставленной цели, а с другой стороны, обесценивания результатов обследования из-за их недостаточной точности, вызванной слишком малым объемом выборки.

Общие формулы (6.2.28) и (6.2.33) не годятся для определения объема выборки при заданной стандартной ошибке оценки, так как в них не входит объем выборки , а входят лишь числа единиц выборки, отбираемых из отдельных слоев. Вывод формул для расчета объема выборки возможен только из равенств, полученных при различных способах размещения единиц выборки. Каждая из полученных далее формул справедлива только для данного конкретного способа размещения. По этим формулам определяются значения объемов выборок при наперед заданных величинах стандартных ошибок

6.2.4.1. Определение объема выборки при равномерном размещении

Если равенства (6.2.39) И (6.2.42), определяющие стандартные ошибки и , разрешить относительно , то после некоторых преобразований получим следующие результаты.

а) При заданной стандартной ошибке

или при , т. е. при больших объемах слоев,

    (6.2.67)

Равенство (6.2.67) дает всегда больший объем выборки, чем формула (6.2.66), в которой учитывается конечность исследуемой совокупности.

б) При заданной стандартной ошибке

Принимая во внимание, что из приведенных ранее формул получим, что

или при , т. е. при больших объемах слоев,

    (6.2.69)

Эти же формулы легко получить из (6.2.39).

6.2.4.2. Определение объема выборки при пропорциональном размещении

а) При заданной стандартной ошибке

Выражая из формулы (6.2.49) для после некоторых преобразований получим:

    (6.2.70)

или при больших

    (6.2.71)

б) При заданной стандартной ошибке

Принимая во внимание, из (6.2.70) и (6.2.71) можно получить формулы для расчета необходимого объема выборки при заранее заданной стандартной ошибке оценки суммарного значения признака X для совокупности:

или при больших значениях

    (6.2.73)

6.2.4.3. Определение объема выборки при оптимальном размещении

а) При заданной стандартной ошибке

Разрешая относительно равенство (6.2.57), определяющее стандартную ошибку оценки среднего значения

после некоторых преобразований получим:

или при больших

    (6.2.75)

б) При заданной стандартной ошибке

Если в приведенных выше формулах заменить на то получим формулы для расчета объема выборки при заранее заданной стандартной ошибке оценки суммарного значения признака X для совокупности:

или при больших

    (6.2.77)

Общее замечание. Для всех трех рассмотренных здесь способов размещения в соответствующих формулах по определению объема выборки знаменатели одинаковы. Формулы отличаются друг от друга только числителями.

6.2.4.4. Проблемы, возникающие при практическом применении формул для определения необходимого объема выборки при расслоенном отборе

В формулах параграфа 6.2.4 наряду с заданными значениями стандартных ошибок s- и v содержатся также объемы слоев объем совокупности N и средние квадратичные отклонения значений признака в отдельных слоях

В то время как значения и N на стадии подготовки выборочного обследования с помощью расслоенного отбора, как правило, известны точно или приближенно, получение

данных о средних квадратичных отклонениях может представлять значительные трудности. Этот вопрос подробно обсуждался в 5.3.4. Здесь мы ограничимся краткими выводами.

Если неизвестны, то вместо них в формулы подставляют такие величины, которые заведомо приводят к завышенному значению объема выборки, т. е. необходимый объем выборки оценивается сверху. Выборочное обследование проводится с вычисленным таким образом значением .

Если неизвестно, то в этом случае можно: а) воспользоваться значениями , полученными из таких же или аналогичных предыдущих обследований; б) провести предварительные пробные обследования с помощью выборок малого объема для определения средних квадратичных отклонений V. в) предположить, что признак в слоях имеет определенное теоретическое распределение (см. 5.3.4.4).