5.3.2. ОЦЕНКИ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Оцениваемые параметры [см. (5.3.2) и (5.3.3)]

    (5.3.12)

связаны между собой через константу N. Поэтому мы будем обсуждать оценивание обоих параметров вместе; формулы при этом становятся более наглядными и не требуют отдельного вывода для каждого параметра. Так как единиц выборки отобраны из совокупности с соблюдением принципа случайности, то суммарное значение

и среднее значение

    (5.3.13)

предстасляют собой случайные величины.

Кажется естественным рассматривать среднее выборки как оценку среднего совокупности. Например, средние расходы на питание, полученные при опросе 120 случайно отобранных студентов, проживающих в студенческом общежитии, можно принять за оценку средних расходов на питание всех студентов этого общежития.

Можно показать, что несмещенная оценка истинного среднего значения

    (5.3.14)

и сразу видно, что функция оценки (5.3.13) состоятельна:

    (5.3.15)

Стандартная ошибка оценки составляет

    (5.3.16)

Однако содержащееся в формуле среднее квадратичное отклонение совокупности, S, как правило, неизвестно и оно теоретически может быть вычислено только после сплошного обследования b с большими затратами. Поэтому S заменяют на среднее квадратичное отклонение выборки [см. (5.3.10)] и получают

соответственно

    (5.3.19)

Стандартная ошибка s - как мера рассеяния оценки представляет собой одновременно меру точности оценивания истинного среднего значения совокупности.

Если — несмещенная состоятельная оценка параметра X, то

    (5.3.20)

есть несмещенная состоятельная оценка суммарного значения X совокупности. Очевидно, что

    (5.3.21)

В формуле (5.3.20) х - сумма признаков единиц выборки (она представляет собой уменьшенное отображение совокупности) умножается на — величину, обратную доле отбора. Этот множитель называется множителем распространения (множителем повышения). Он в некотором смысле «компенсирует» уменьшение суммарного значения, возникающее из-за того, что мы рассматриваем только долю всей совокупности, равную

Если доля отбора равна то это значит, что выборка содержит — совокупности. Поэтому оценка для совокупности получается умножением на

Равенства (5.3.17) и (5.3.18) позволяют сразу определить стандартную ошибку оценки (5.3.20). Поскольку

    (5.3.22)

то

    (5.3.23)

Стандартные ошибки представляют собой меры абсолютной точности оценивания. Они показывают порядок величины случайного отклонения оценки от параметра.

Из формулы (5.3.18) видно, что стандартная ошибка зависит от трех величин: объема выборки; доли отбора, т. е. объема совокупности; среднего квадратичного отклонения значений признака у всех единиц совокупности, т. е. изменчивости рассматриваемого признака.

Стандартная ошибка при прочих равных условиях уменьшается с увеличением объема выборки; увеличивается с увеличением объема совокупности и стремится к пределу (5.3.19); уменьшается с уменьшением среднего квадратичного отклонения признака s, т. е. с увеличением однородности наблюдаемого признака.

Стандартные ошибки (5.3.17) и (5.3.23), как правило, не безразмерны, они имеют размерность наблюдаемого признака. Для сравнения результатов разных выборок целесообразно

сообразно рассматривать коэффициенты вариации оценок, т. е. относительные стандартные ошибки

    (5.3.25)

    (5.3.26)

Коэффициенты вариации среднего X и суммарного значения X равны. Однако формулы (5.3.25) и (5.3.26) не годятся для расчетов, так как они содержат неизвестные значения S и X. Если заменить эти значения результатами выборки s и то получившуюся величину

    (5.3.27)

называют выборочным коэффициентом вариации. Из (5.3.26) и получаем следующее равенство:

    (5.3.28)

показывает, сколько процентов от истинного значения (которое должно быть оценено) составляет стандартная ошибка оценки.

Пример. Средний вклад 150 опрошенных вкладчиков, отобранных случайным образом из совокупности, включающей 8000 молодых вкладчиков, составляет 520 марок. Среднее квадратичное отклонение отдельных значений марок. Выборочный коэффициент вариации или 12,5%.

Требуется определить оценки, а также стандартные ошибки и коэффициенты вариации оценок среднего и суммарного значения вкладов у всех вкладчиков.

марок есть оценка истинного среднего;

марок есть оценка суммарного значения.

Стандартную ошибку выборочного среднего мы рассчитываем по формуле (5.3.18):

Стандартная ошибка среднего (из 150 опрошенных) составляет 5,26 марки. Это порядок величины отклонения оценки от истинного значения.

Стандартная ошибка оценки суммарного значения равна:

Коэффициент вариации среднего составляет:

Коэффициент вариации суммарного значения также равен:

Результат оценивания может быть с помощью оценок и их стандартных ошибок представлен следующим образом:

оцененное среднее значение: 520 марок ± 5,26 марки;

оцененное суммарное значение: 4 160 000 марок марок.

Результат с коэффициентом вариации 1,01% можно считать вполне точным.

Наряду с оценкой математического ожидания и ее стандартной ошибкой представляет интерес также распределение этой оценки, которую можно рассматривать как случайную величину. Согласно центральной предельной теореме математической статистики сумма достаточно большого количества случайных величин, а следовательно, и среднее нормально распределены даже тогда, когда слагаемые (здесь значения признаков отдельных единиц совокупности) распределены не нормально. Если численные значения признака у единиц совокупности не имеют ярко выраженных «пиков» или «провалов», то нормальность распределения среднего обеспечивается уже при небольших объемах выборки (). Эти допущения широко используются

при выборочных обследованиях социально-экономических явлении.

Среднее х (5.3.8), таким образом, представляет собой нормально распределенную случайную величину (реализацию нормально распределенной случайной величины) с математическим ожиданием Х и стандартной ошибкой, вычисляемой по формуле (5.3.16).

Оценка х (5.3.20) есть нормально распределенная величина с математическим ожиданием и стандартной ошибкой, вычисляемой по формуле (5.3.23).

В табл. 5.10 сведены формулы для вычислении оценок параметров и их стандартных ошибок, рассмотренные в этом параграфе. Добавлена еще случайная величина .

Таблица 5.10