5.6.3. СРАВНЕНИЕ ОЦЕНИВАНИЯ ПО РАЗНОСТИ И ПРЯМОГО ОЦЕНИВАНИЯ

Если имеются данные о факторном признаке, необходимые для оценивания по разности, то следует решить вопрос, приведет .ли в данном конкретном случае привлечение информации о факторном признаке к улучшению оценки по сравнению с прямым оцениванием. Ведь прямое оценивание технически проще косвенного и требует меньших затрат.

Преимущество отдается тому методу, при применении которого оценки имеют меньшую стандартную ошибку и который, таким образом, обеспечивает более эффективное оценивание искомого параметра. Если сравнить стандартные ошибки оценок среднего при оценивании по разности (5.6.10) и при прямом оценивании

то легко видеть, что если

    (5.6.13)

или если

    (5.6.14)

Таким образом, имеют место следующие соотношения:

    (5.6.15)

Для стандартных ошибок оценок суммарного значения X для совокупности (5.6.3), естественно, выполняются те же самые условия.

Если факторный и результативный признаки характеризуют одно и то же свойство в последовательные моменты (интервалы) времени, то можно принять, что . Тогда оценивание по разности эффективнее прямого оценивания, если только

    (5.6.16)

Если же результативный признак — составная часть факторного признака, то может быть значительно меньше, чем . Если , то привлечение информации о факторном признаке и применение оценивания по разности не приводят к повышению точности, так как коэффициент корреляции не может превысить значения

Неравенства (5.6.15) показывают только, какой способ при каких условиях эффективнее. Насколько различна точность оценивания, можно определить, рассмотрев отношение дисперсий. Из (5.6.10) и (5.6.12) получаем:

Если то отношение 1, то оценивание по разности эффективнее, чем прямое оценивание, равноценно ему или соответственно менее точно. Если на рис. 21 вместо откладывать по оси абсцисс значения , то изображенное на нем семейство кривых будет показывать величину отношения дисперсий оценок (5.6.17) в зависимости от коэффициента корреляции . Каждая кривая имеет минимум при

Например, при и при коэффициенте корреляции дисперсия оценки по разности составляет всего 0,4 дисперсии прямой оценки, т. е. Для того чтобы достичь равной эффективности при оценивании по разности, потребуется только 40% объема выборки, необходимого для прямого оценивания.