Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
4.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ОЦЕНОКПри случайном отборе единиц выборки каждая единица совокупности имеет определенную вероятность быть отобранной. Так как заранее неизвестно, какие единицы будут отобраны, то неизвестно и какие значения Если совокупность содержит N единиц, а в выборку должно входить
Каждая из выборок имеет одинаковую вероятность быть отобранной, равную Хотя на практике, как правило, извлекается и используется одна выборка, с теоретической точки зрения интересно, что число возможных выборок чрезвычайно велико. Пусть должна быть взята выборка объема
Чтобы получить представление о величине этого числа, мы грубо оценим его снизу. Уменьшим числитель, заменив все 10 сомножителей на 1000, и увеличим знаменатель, заменив все 9 сомножителей числом 10. Тогда получим:
Итак, количество возможных выборок больше, чем Каждому возможному вектору результата также являются реализациями случайных величин, то функция оценки — также случайная величина, а конкретная оценка, следовательно, — реализация случайной величины. Закон распределения непрерывной случайной величины задается в виде плотности и функции распределения вероятностей. Закон распределения дискретной случайной величины задается в виде ряда распределения вероятностей и функции распределения. Если Z — случайная величина, а
Знание функции распределения случайной величины позволяет ответить на два вопроса, важных как для математической статистики, так и для теории выборки: а) Какова вероятность того, что случайная величина примет некоторое фиксированное значение (в дискретном случае) или же будет находиться внутри некоторого интервала (интервалов)? б) Как велики интервалы, внутри которых случайная величина будет находиться с некоторой заранее заданной вероятностью? Если в случае а) интервалы (т. е. события) заданы и с помощью функции распределения определяются соответствующие вероятности, то и случае б) ищутся интервалы (события), соответствующие заданным вероятностям. Пусть
Рис. 1. Функция плотности непрерывной случайной величины Если
то
т. e. вероятность попадания случайной величины в интервал Из равенства (4.7) можно получить следующие выражения:
Равенство (4.8) позволяет определить вероятность того, что случайная величина превосходит некоторую границу, обе сразу) и определяются границы (или граница), которые нм соответствуют. Равенства (4.5)-(4.9) описывают общие свойства функции распределения случайной величины. Они не дают нам сведений о конкретном виде функции распределения оценок, которые мы можем получить в результате исследования выборки.
Рис. 2. Функция распределения непрерывно» случайной величины Фундаментальное значение для теории выборки имеет центральная предельная теорема математической статистики, которая дает ответ на этот вопрос. В упрощенном виде центральная предельная теорема математической статистики формулируется следующим образом. Пусть ожиданием Z и дисперсией сумма этих случайных величин среднее В конкретных случаях следует, естественно, указывать, какие значения В последующих главах мы покажем, что функции выборки, как правило, представляют собой суммы случайных величин и поэтому к оценкам Пусть
будет случайной величиной с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Известная симметричная форма нормального распределения, называемого часто распределением Гаусса, изображена на рис. 3 и 4.
Рис. 3. Нормальное распределение. Функция плотности
Рис. 4. Нормальное распределение. Соотношение между функцией распределения Таблицы нормального распределения содержат реличины функции, плотности
и
В табл. 4.2 приведены выдержки из таблицы нормального распределения, показывающие некоторые значения функций Таблица 4.2. Площади под кривой нормального распределения
соотношение между вероятностями попадания нормально распределенной случайной величины в интервалы и шириной этих интервалов, выраженных в долях а.
Рис. 5. Нормальное распределение
|
1 |
Оглавление
|