6.2.7. ОЦЕНИВАНИЕ ПО РАЗНОСТИ

6.2.7.1. Методы косвенного оценивания при заданном расслоении совокупности

Функция оценки суммарного значения признака X (см. 6.2.2.1) может быть записана в виде

    (6.2.83)

т. е. оценка суммарного значения признака X для совокупности равна сумме оценок суммарных значений признака по слоям. Аналогичное равенство можно получить и для оценки среднего значения X:

    (6.2.84)

В параграфах 6.2.2 — 6.2.6 оценки определялись с помощью прямого оценивания. Проблема прямого оценивания средних и суммарных значений подробно обсуждалась в 5.3.

При расслоенном отборе, как и при простом случайном отборе (гл. 5), для оценивания суммарных и средних значений признака в отдельных слоях можно применять способ косвенного оценивания и полученные оценки надлежащим образом агрегировать в оценки суммарных и средних значений признака X и X для совокупности. Оценивание суммарных и средних значений признака по разности, по отношению и по линейной регрессии обсуждалось в 5.4, 5.5. и 5.6 В 6.2.7, 6.2.8 и 6.2.9 эти рассуждения переносятся на расслоенный отбор.

Предпосылкой применения косвенного оценивания, которое, как правило, приводит к существенному повышению эффективности оценивания, является знание суммарных или средних значений соответствующего факторного признака для отдельных слоев. Для описания факторного, признака Y мы будем применять те же обозначения, что и для результативного признака. Например, для результативного признака

    (6.2.85)

а для факторного признака

— суммарное значение факторного признака всех единиц слоя; значения предполагаются известными. В 6.2.7, 6.2.8 и 6.2.9 те же обозначения, что и в 5.4, 5.5 и 5.6; дополнительный индекс h, обозначающий номер слоя, указывает на то, что в расслоенной совокупности нужно учитывать различия между слоями (см. таблицу в 6.1).

6.2.7.2. Функции оценки и их стандартные ошибки при оценивании по разности

Функция оценки суммарного значения результативного признака X при оценивании по разности при нерасслоенном отборе имела вид [см. формулу (5.6.3)]:

    (6.2.87)

Соответственно можно записать функцию оценки суммарного значения признака в слое:

    (6.2.88)

— суммарные выборочные значения результативного и факторного признаков для обследуемых единиц выборки слоя, — соответствующие выборочные средние. Стандартная ошибка оценки (6.2.88) составляет [см. (5.6.7) и

    (6.2.89)

— выборочные средние квадратичные отклонения значений результативного и факторного признаков; — выборочный коэффициент корреляции [рассчитывается по (5.4.17)]. Оценку суммарного значения признака X для совокупности (6.2.83) получим суммированием оценок Для отдельных слоев:

    (6.2.90)

Поскольку оценки — несмещенные, оценка (6.2.90) — также несмещенная оценка суммарного значения признака X, для совокупности, т. е.

    (6.2.91)

Как уже было отмечено в 5.6, оценивание по разности при менимо только тогда, когда результативный и факторный признаки имеют одинаковую размерность, т. е. их можно складывать. Это может быть в том случае, если оба признака описывают одно и то же явление в последовательные моменты или периоды времени или если один из признаков представляет собой составную часть другого. Суммарное значение признака Y для совокупности корректируется с помощью суммы поправок для отдельных слоев.

Оценку среднего значения признака X для совокупности получим либо из формулы (6.2.84), либо разделив оценку (6.2.90) на

    (62,92)

Дисперсия оценки (6.2.88) легко рассчитывается по формуле (6.2.21); она равна сумме дисперсий оценок Поскольку , получаем:

    (6.2.93)

а при

Так как стандартные ошибки оценки (6.2.92) среднего значения X получим из формул (6.2.93) и (6.2.94):

    (6.2.95)

и при

    (6.2.96)

Оценивание по разности при соблюдении условий, указанных в 5.6 (особенно относительно коэффициента корреляции), эффективнее, чем прямое оценивание по формулам или (6.2.18). Для определения оценок необходимо знание величин значения получают в результате обследования выборки. Для определения стандартных ошибок оценок нужно по значениям признака у единиц выборки рассчитать средние квадратичные отклонения для. каждого слоя, а также коэффициенты корреляции