4.4. ТОЧЕЧНОЕ И ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ

4.4.1. ТОЧЕЧНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ

Каждая оценка некоторого параметра представляет собой точечную оценку. При этом получается только одно число, которое рассчитывается по определенным правилам на основании результатов исследования единиц выборки. Естественно, нельзя считать, что при точечном оценивании можно «угадатьх точное значение параметра. Вероятность этого в большинстве случаев очень мала. Для характернее тики точности точечного оценивания служит стандартная ошибка оценки. Результат точечного оценивания можно представить в виде

оценивает порядок величины возможного отклонения оценки k от параметра К

4.4.2. ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ

Другой способ оценивания параметра заключается в определении интервала, который содержит истинное значение этого параметра с заданной вероятностью. Границы этого интервала, естественно, должны рассчитываться по определенным правилам исходя из результатов выборки. Таким образом, сами эти границы будут функциями выборки и, следовательно, случайными величинами.

Задача математической статистики состоит в том, чтобы определить границы интервала, покрывающего с желаемой вероятностью (1—а) неизвестное нам значение параметра. Такой интервал называется доверительным интервалом или доверительной областью, границы интервала называются доверительными границами, вероятность (1 — а) — уровнем доверительной вероятности или степенью надежности, а — вероятностью ошибки. должны быть определены так, чтобы неравенство выполнялось с вероятностью

Параметр К больше, чем , но меньше, чем

При решении проблемы оценки уровень доверительной вероятности задается (например, 0,95 или рассчитываются как функции выборки. Уровень доверительной вероятности указывает на то, что при повторении оценивания в среднем в случаев параметр действительно покрывается доверительным интервалом.

Если вероятность ошибки а выбрана малой, то говорят, что параметр «почти всегда» или «практически всегда» лежит внутри доверительного интервала и при единичной реализации (выборочном обследовании) пренебрегают тем, что результат оценивания доверительного интервала неточен. Ширина доверительного интервала наглядно показывает точность оценки. Чем больше ширина доверительного интервала, тем ниже точность оценивания.

Но, с другой стороны, можно легко видеть, что при увеличении ширины доверительного интервала А при прочих i равных условиях растет уровень доверительной вероятности 1 — а, т. е. надежность высказывании увеличивается. Так, например, надежность основанного на результатах выборки высказывания «средняя заработная плата (некоторой группы) лежит между 2,85 и 2,95 марки в час» меньше, чем надежность подобного высказывания с шириной интервала 0,2 марки . Повышение уровня доверительной вероятности, следовательно, при прочих равных условиях связано с расширением доверительного интервала, т. е. с уменьшением точности высказывания. Взаимозависимость этих двух величин должна учитываться при расчете доверительных интервалов, она запрещает, например, пользоваться вероятностью ошибки

В зависимости от постановки задачи доверительный интервал может быть двусторонним или односторонним. В первом случае он имеет вид

(параметр лежит между Во втором случае

(параметр меньше или параметр больше ).