5.6.4. СРАВНЕНИЕ ОЦЕНИВАНИЯ ПО РАЗНОСТИ И ПО ОТНОШЕНИЮ

Если при оценивании суммарного или среднего значения для совокупности имеется факторный признак, который позволяет применить оценивание по разности, то в таком случае применимо оценивание и по отношению.

Если установлено, что оба эти метода эффективнее прямого оценивания (см. 5.4.4 и 5.6.3), то для решения вопроса, какому же из них отдать предпочтение, нужно сравнить стандартные ошибки (соответственно и ). Так как условия для обеспечения эффективности одинаковы как при оценивании средних, так и при оценивании суммарных значений, мы ограничимся только сравнением стандартных ошибок оценок среднего. Эти стандартные ошибки составляют:

    (5.6.18)

Легко видно, что

    (5.6.20)

или

    (5.6.21)

Это соотношение получается непосредственно из сравнения формул (5.6.18) и (5.6.19). Естественно, можно рассчитать численное значение и прямо сделать вывод 0 том, какой метод более подходящий. Однако определение условий, - накладываемых на значения и t для выбора того или другого метода, позволяет лучше понять специфику каждого из них. Соотношение (5.6.21), конечно, мало содержательно. С помощью простых преобразований получим:

    (5.6.22)

Это неравенство нельзя просто сократить на . При оба способа равноценны.

При получим

При получим

Если прибавить еще условия, при которых следует предпочесть прямое оценивание, то получаются следующие области значений коэффициента корреляции между результативным и факторным признаками, при которых один из трех способов оценивания суммарных или средних значений для совокупности дает наименьшую стандартную ошибку.

При

При

Если имеется информация о величинах то с помощью соотношений (5.6.25) и (5.6.26) можно легко принять решение о выборе способа оценивания. Этот выбор может быть облегчен также с помощью рис. 21. При заданной величине коэффициента корреляции, представляющего собой меру тесноты связи между результативным и факторным признаком, оценивание по отношению и по разности наиболее эффективно по сравнению с прямым оцениванием, когда значение величины, откладываемой по оси абсцисс, равно коэффициенту корреляции. При оценивании по отношению кривые на рис. 21 достигают минимума, когда , а при оценивании по разности когда . Кривые на рис. 21 изображают как величину отношения дисперсии оценки по отношению к дисперсии прямой оценки, так и величину отношения дисперсии оценки по разности к дисперсии прямой оценки. Поэтому предпочтение отдается тому методу, при котором это отношение меньше, т. е. (при заданном коэффициенте корреляции) ближе к минимуму.

Таким образом,

если

    (5.6.27)

Это условие выполняется точно, так как кривые симметричны относительно своих минимумов.

Пример. Пусть результативный и факторный признаки коррелированы с Средние квадратичные отклонения приблизительно равны, например Отношение средних значений признаков . Тогда . В этом случае оценивание по разности, следовательно, эффективнее, чем оценивание по отношению.

Из рис. 21 можно также видеть, что величина отношения дисперсии оценки по разности к дисперсии прямой оценки равна Чтобы с помощью оценивания по разности получить ту же самую стандартную ошибку, что и при прямом оценивании, необходимы только 20% объема выборки. Величина отношения дисперсии оценки по отношению к дисперсии прямой оценки равна т. е. значительно больше, чем при оценивании по разности. Чтобы с помощью оценивания по отношению получить ту же самую стандартную ошибку, что и при прямом оценивании, необходимы 43% объема выборки.