5.4.4. СРАВНЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ОЦЕНИВАНИЯ ПО ОТНОШЕНИЮ И ПРЯМОГО ОЦЕНИВАНИЯ

В 5.3.2 и 5.4.3 мы изучали две различные оценки суммарного и среднего значений признака совокупности. Так, для суммарного значения имеем следующие оценки:

— оценка при прямом оценивании;

— оценка по отношению.

Стандартные ошибки соответственно равны:

    (5.4.79)

Стандартные ошибки оценок среднего значения составляют:

Если имеются предпосылки для оценивания по отношению (знание значений Y или Y), то нужно принять решение, какой функцией оценки воспользоваться. При этом надо учитывать, что при оценивании по отношению результатами выборки должны быть не только значения изучаемого результативного признака, но и значения факторного признака обследуемых единиц; Как правило, предпочтение отдается той функции оценки, у которой стандартная ошибка меньше. Эта функция оценки при том же объеме выборки эффективнее.

При сравнении формул (5.4.79) и (5.4.80) или (5.4.81) и (5.4.82) видно, что когда

т. e. когда

или

    (5.4.83)

Так как то, подставив эти значения в формулу (5.4.83), получим, что оценивание по отношению эффективнее прямого оценивания при

Это неравенство устанавливает ограничение на величину коэффициента корреляции, при которой гарантируется, что

Если при конкретном исследовании принять, что , то практически оценка по отношению лучше прямой оценки при

Можно утверждать, что

т. е.

Эта формула, однако, не позволяет сделать никаких выводов о том, насколько различна эффективность этих двух функций оценки.

Если поделить друг на друга (5.4.79) и (5.4.80), а также остальные соответствующие формулы, то получим:

    (5.4.86)

Отношение стандартных ошибок (коэффициентов вариации) оценок зависит от двух величин: коэффициента корреляции и отношения коэффициентов вариации отдельных значений результативного и факторного признаков. На рис. 21 даны графики отношения дисперсий оценок

при различных значениях коэффициента корреляции в зависимости от отношения

Легко видеть, что:

при фиксированном значении эффективность оценки по отношению тем выше, чем больше коэффициент корреляции , т. е. чем теснее связь между результативным и факторным признаками;

не всегда при положительной корреляции следует отдавать предпочтение оценке по отношению перед прямой оценкой [см. условие (5.4.85)];

кривые на рис. 21 имеют ярко выраженный минимум. Продифференцировав выражение (5.4.87), можно убедиться, что минимум достигается при минимальные значения всегда меньше 1. Например, при значении получаются значения, приведенные в табл. 5.11.

Таблица 5.11

При коэффициент вариации (а также стандартная и предельная ошибки) оценки по отношению составляет округленно только 31% соответствующих значений при прямом оценивании.

Если учесть, что довольно часто встречается коэффициент корреляции , а иногда и , то легко видеть, что при одном и том же объеме выборки с помощью оценивания по отношению может быть достигнуто заметное повышение эффективности результатов обследования.

Равная точность при прямом оценивании может быть достигнута только при большем объеме выборки. Выясним, каково должно быть соотношение между объемами выборок,

Рис. 21. График отношений дисперсий оценки по отношению и прямой оценки

чтобы при оценивании были достигнуты одинаковые значения стандартных ошибок (или коэффициентов вариации оценок).

Обозначим соответствующие объемы через . Сравнивая формулы (5.4.72) и (5.3.28), получаем:

    (5.4.88)

или

Следовательно, отношение объемов выборки, необходимых для получения равной точности при оценивании по отношению и прямом оценивании, равно квадрату отношения стандартных ошибок или коэффициентов вариации соответствующих оценок при одинаковых объемах выборки. Из таблицы видно, что при для получения оценок равной точности, т. е. с одинаковыми стандартными ошибками, коэффициентами вариации, предельными ошибками или одинаковой шириной доверительного интервала, объем выборки при оценивании по отношению должен составлять всего 10% объема выборхи при прямом оценивании.