5.5.5. СРАВНЕНИЕ ОЦЕНИВАНИЯ ПО РЕГРЕССИИ И ПО ОТНОШЕНИЮ

Отношение дисперсий оценок суммарного или среднего значения признака для совокупности при оценивании по регрессии (5.5.27) и по отношению равно:

Это отношение, очевидно, меньше 1, т. е. оценки по регрессии эффективнее всегда, когда

    (5.5.38)

т. е. когда

    (5.5.39)

Левая часть этого неравенства представляет собой полный квадрат:

    (5.5.40)

поэтому она всегда больше или равна нулю.

Если (5.5.40) равно нулю, то неравенство (5.5.38) превращается в равенство и тогда оба способа равноценны. Если же (5.5.40) больше нуля, то неравенство (5.5.38) выполняется и оценивание по регрессии эффективнее, чем по отношению. Очевидно, что

Оценивание по регрессии, таким образом, равнозначно оцениванию по отношению, т. е.

и превосходит его, т. е.

    (5.5.43)

Если принять во внимание, что между коэффициентом корреляции (5.4.17) и коэффициентом регрессии (5.4.18) существует соотношение

    (5.5.44)

то (5.5.42) выполняется, когда b = t, а (5.5.43) - когда . Равенство показывает, однако, что коэффициент регрессии b (угловой коэффициент линии регрессии) равен тангенсу угла наклона линии пропорциональности, проходящей через начало координат.

Суммируя результаты сравнения оценивания по регрессии и оценивания по отношению, можно записать:

Как уже неоднократно отмечалось, в области социально-экономической статистики линия регрессии между факторным и результативным признаком часто проходит близко от начала координат. Тогда оценивание по отношению дает примерно такие же результаты, что и оценивание по регрессии.