6.2.8. ОЦЕНИВАНИЕ ПО ОТНОШЕНИЮ

6.2.8.1. Общие замечания

При обсуждении оценивания по отношению будем пользоваться обозначениями и понятиями, введенными в 6.2.7.1. Оценивание по отношению подробно разбиралось в 5.4. Здесь же наша цель состоит в том, чтобы доказать правомерность переноса полученных в 5.4 результатов на расслоенный отбор. При этом одновременно будем рассматривать три параметра, а именно: отношение [см. (5.4.6)]

суммарное значение результативного признака для совокупности [см. 5.4.56)]

    (6.2.98)

И среднее значение результативного признака для совокупности [см. (5.4.60)]

    (6.2.99)

Если предположить, что суммарное значение Y факторного признака известно (так как это необходимая предпосылка применения косвенных методов оценивания), то для получения оценок параметров Т, X, X можно воспользоваться следующими простыми соотношениями:

    (6.2.100)

Пример. Пусть — урожай ржи (в тоннах) в определенном году в общине, — площадь, засеянная рожью в общине, N — количество общин в ГДР. Y — общая площадь, засеянная рожью, а следовательно, и У — средняя площадь, засеянная рожью, приходящаяся на одну общину, предполагаются известными. Эти величины могут быть вычислены, как правило, без большого труда. Тогда Т — действительный (истинный) урожай с одного гектара в тоннах, X — общий урожай ржи во всех N общинах ГДР (в тоннах), X — средний урожай ржи на одну общину (величину X можно в данном случае рассматривать как характеристику производительности труда). Если удается получить оценку Т урожая с одного гектара, то с помощью соотношения (6.2.100) можно оценить суммарный урожай (он равен произведению оценки урожая с гектара на занятую площадь), а с помощью соотношения (6.2.101) — средний урожай на одну общину (он равен произведению оценки урожая с гектара на среднюю площадь, засеянную рожью в общине).

Между стандартными ошибками существуют следующие соотношения:

    (6.2.103)

Чтобы не загромождать изложение чрезмерным количеством формул, мы приведем здесь лишь функцию оценки суммарного значения для совокупности и ее стандартную ошибку . Функции оценки параметров Т и X и их стандартные ошибки могут быть легко определены из формул , (6.2.101), (6.2.102), а также (6.2.103) и (6.2.104).

Оценка по отношению [а также оценка по регрессии (см. 6.2.9)] каждого параметра может быть получена двумя способами:

раздельным оцениванием по отношению, совместным оцениванием по отношению.

6.2.8.2. Раздельное оценивание по отношению

Как показано в 5.4.3.2. [формула (5.4.59)], суммарное значение

    (6.2.105)

результативного признака единиц слоя может быть оценено с помощью суммарных выборочных значений единиц слоя (или средних значений ) при известном суммарном значении факторного признака:

    (6.2.106)

Сумма этих оценок по всем L слоям представляет собой в силу (6.2.83) оценку X суммарного значения признака X для совокупности:

где

    (6.2.108)

Формула (6.2.108) соответствует формуле (5.4.19) и представляет собой оценку отношения слоя:

Оценка (6.2.107) есть сумма «раздельных» оценок суммарных значений признака для каждого слоя.

Функции оценок и получаются из соотношений (6.2.101) и (6.2.102).

Дисперсию и стандартную ошибку оценки (6.2.107) мы получаем по правилу (6.2.21) из дисперсии оценок по отношению (6.2.106) для отдельных слоев, которые вычисляются с помощью формулы (5.4.68) — дисперсии оценки по отношению при простом случайном отборе:

    (6.2.109)

Это равенство является исходным для определения стандартных ошибок оценок Т и X. Если, как и ранее, ввести в последнюю скобку в равенстве (6.2.109) меру рассеяния [см. (5.4.44) и (5.4.73)], то, учитывая, что она различна для различных слоев, получим:

определяется для каждого слоя по отдельным значениями . Подставляя в (6.2.109), получим:

Если , т. е. доли отбора , то (6.2.109) и (6.2.111) превращаются в

    (6.2.112)

и

Для определения оценки и стандартной ошибки нужно по значениям признаков у отдельных единиц выборки рассчитать следующие величины: (соответственно ). Расчетная таблица должна содержать для каждого слоя, например, столбцы . Суммируя эти значения, мы получим указанные величины, по которым легко вычислить оценки и их стандартные ошибки.

Стандартные ошибки оценок (6.2.101) и (6.2.102) среднего значения X и отношения Т получаем с помощью соотношений (6.2.103) и (6.2.104).

Раздельное - оценивание по отношению в противоположность совместному (см. 6.2.8.3) наряду с оценками параметров совокупности дает оценки параметров для отдельных слоев. Набор таких оценок требуется, например, при региональном расслоении, когда в качестве естественных слоев рассматриваются округи ГДР. Кроме того, для определения дисперсии оценок параметров для совокупности рассчитываются дисперсии для отдельных слоев, так что при раздельном оценивании по отношению получают полные сведения как о совокупности, так и об отдельных слоях.

6.2.8.3. Совместное оценивание по отношению

В случае расслоенного отбора при оценивании по отнощению наряду с раздельным оцениванием существует и другой способ оценивания параметров X, Т и X для совокупности.

Отношение

можно рассматривать как отношение сумм суммарных значений признаков по всем слоям. Теперь можно оценить отдельно числитель и знаменатель с помощью суммарных выборочных значений и характеристик отбора Очевидно, что представляет собой оценку (при прямом оценивании) суммарного значения результативного признака в слое, — аналогичную оценку суммарного значения факторного признака единиц слоя. Оценку параметра Т можно получить, заменяя в (6.2.114) слагаемые в числителе и знаменателе их оценками:

    (6.2.115)

Тогда оценкой суммарного значения признака X для совокупности будет величина

Оценку среднего значения X получают с помощью (6.2.101):

При совместном оценивании по отношению получаются только оценки параметров совокупности. Этот метод не позволяет получить оценки для отдельных слоев.

Стандартная ошибка оценки вычисляется по формуле следующим образом 132], 133]:

Стандартные ошибки совм получают из формул (6.2.103), (6.2.104) и (6.2.115). Если , то формулу (6.2.118) можно упростить:

    (6.2.119)

Формулы (6.2.118) и (6.2.119) принимают более удобный вид, если в них ввести среднее квадратичное отклонение эмпирических значений слое от «ожидаемых» (при проведении совместного оценивания по отношению) значений

В результате получим:

и

    (6.2.122)

Обратите внимание на то, что формула (6.2.120) содержит отношение (6.2.115) для совокупности в противоположность формуле (6.2.110) для раздельного оценивания по отношению, содержащей отношение 4 для слоев.

6.2.8.4. Сравнение раздельного и совместного оценивания по отношению

Если известны результаты выборки и соответственно вычислены величины то возможно как раздельное, так и совместное оценивание по отношению. При выборе того или иного способа оценивания следует принимать во внимание следующие обстоятельства.

При совместном оценивании требуется вычислить только одно отношение тогда как при раздельном оценивании необходимо вычислить отношение для каждого из L слоев. Все 4 используются как при определении оценок, так и при расчете их стандартных ошибок. Поэтому совместное оценивание требует меньших затрат на расчеты по сравнению с раздельным.

Если наряду с оценками параметров X, X, Т для совокупности требуется еще знание соответствующих параметров для слоев, то следует применять раздельное оценивание, так как только оно позволяет определить оценки этих параметров.

Раздельное и совместное оценивание дают смещенные оценки. Можно показать, что смещение (систематическая ошибка оценивания, см. 4.3.1) при раздельном оценивании в L раз больше, чем при совместном (L — число слоев, на которое разбита совокупность).

Стандартные ошибки оценок при совместном оценивании больше, чем при раздельном. Это различие незначительно, если значения не сильно отклоняются от , т. е. если отношения 4 для слоев не сильно отличаются друг от друга. Если же 4 различаются сильно, то предпочтительнее раздельное оценивание.