5.6.2. ОЦЕНИВАНИЕ СРЕДНИХ И СУММАРНЫХ ЗНАЧЕНИЯ

Оценивание по разности, с математической точки зрения, — наиболее простой из методов косвенного оценивания. Связь между факторным и результативным признаком устанавливается с помощью их разности.

Для того чтобы, используя суммарное значение У (или среднее Y) факторного признака для совокупности, которое предполагается известным, построить функцию оценки суммарного значения X или среднего X, мы воспользуемся тождеством

    (5.6.1)

В скобках стоит истинное значение разности суммарных значений результативного и факторного признаков для совокупности. Основная идея оценивания по разности состоит в том, чтобы с помощью выборки оценить только эту разность и получить оценку неизвестного суммарного значения X, используя известное значение У факторного признака.

Оценку действительной разности (X — Y) суммарных значений признаков всех единиц совокупности получают, умножая наблюдаемую разность выборочных суммарных

значении результативного и факторного признаков на множитель распространения . Если с помощью выборки получены значения , то

и, следовательно, выражение

    (5.6.2)

есть оценка действительной разности (X — У).

Тогда оценка суммарного значения для совокупности при оценивании по разности имеет вид:

    (5.6.3)

Естественно, — случайная величина, ее математическое ожидание равно:

    (5.6.4)

Так как х и у — несмещенные оценки средних значений X и Y генеральных совокупностей, то

    (5.6.5)

т. е. оценка по разности является несмещенной (и, естественно, состоятельной) оценкой суммарного значения X для совокупности.

Разделив обе части тождества (5.6.1) на N, получим аналогичное тождество для средних , а разделив также обе части равенства (5.6.3) на . получим формулу оценки по разности среднего значения для совокупности:

    (5.6.6)

Оценка (5.6.6) представляет собой сумму оценки при прямом оценивании и поправочного члена , который учитывает отклонение между средними значениями и для совокупности и выборки.

(5.6.3). и (5.6.6) содержат лишь одну случайную компоненту — разность двух нормально распределенных случайных величин . Поэтому оценки также нормально распределены. Стандартную ошибку случайной величины можно определить сравнительно просто. Она составляет:

    (5.6.7)

При (5.6.7) переходит в

    (5.6.8)

Стандартную ошибку оценки среднего получают из (5.6.7) и (5.6.8) с помощью соотношения

Она равна:

а при

Непосредственно из формул видно, что при фиксированных значения стандартных ошибок оценок тем меньше (а, следовательно, эффективность оценивания по разности тем выше), чем больше коэффициент корреляции . Однако видно также, что, как и при оценивании по отношению, коэффициент корреляции должен быть положительным, в противном случае стандартные ошибки при оценивании по разности будут всегда больше, чем при прямом оценивании. В случаях, когда применимо оценивание по разности (см. 5.6.1), как правило, есть основания полагать, что между факторным и результативным признаками существует положительная корреляция.. Наличие положительной корреляции (как и при оценивании по отношению), конечно, — лишь необходимое условие для того, чтобы оценивание по разности было эффективнее прямого оценивания (см. 5.6.3).

Для оценивания по разности требуется знание величин , которые целесообразно рассчитывать с помощью сумм и