6.2.6. ПРИМЕР

Проиллюстрируем применение расслоенного отбора на числовом примере. Для совокупности, состоящей из школ, с помощью выборки объема школ нужно оценить средние и суммарные годовые расходы на отопление и освещение: а) с помощью простого случайного (нерасслоенного) отбора, б) при расслоенном отборе с равномерным, пропорциональным и оптимальным размещением единиц выборки, а также сравнить различные способы отбора. Числовой материал в примере выбран произвольно,

но так, что он имеет смысл. Исходные данные и промежуточные результаты, необходимые для расчетов, приведены в табл. 6.3.

Таблица 6.3

Поясним содержание отдельных столбцов таблицы.

Столбец — число школ в отдельных слоях. Эти числа предполагаются заданными. Расслоение может быть проведено по определенным числовым признакам, характерным для школ, например по числу классных комнат, по числу учащихся, учителей и т. д.

Столбец — среднее квадратичное отклонение расходов на школу в слое. При определении оптимального размещения единиц выборки и расчете необходимого объема выборки мы полагаем, что заранее известны (может быть, из предварительного пробного обследования малого объема). При расчете стандартных ошибок оценок мы рассматриваем значения уже как результат обследования единиц выборки.

Столбец 4. Промежуточный результат для определения при оптимальном размещении (столбец 7) по формуле (6.2.54).

Столбец 5. Значения при равномерном размещении единиц выборки по слоям.

Столбец 6. Значения при пропорциональном размещении единиц выборки по слоям, определяемые по формуле (6.2.46).

Столбец 7. Значения при оптимальном размещении единиц выборки по слоям, определяемые по формуле (6.2.54).

Столбец 8. Доли слоев в совокупности (промежуточный результат).

Столбец 9. Промежуточные результаты.

Столбец 10. Промежуточные результаты.

Столбец 11. Результат обследования единиц выборки соответственно размещениям (столбцы 5, 6, 7).

Столбец 12. Промежуточные результаты для определения оценок и а.

Столбец 13. Отклонения средних значений для слоев от общего среднего.

Столбец 14. Промежуточные результаты для определения дисперсии средних значений (дисперсии между слоями).

Решение

Сначала мы рассчитываем размещение единиц выборки по отдельным слоям. Введем обозначения:

I — равномерное размещение;

II — пропорциональное размещение;

III — оптимальное размещение.

Оценки среднего X и суммарного X значения (расходов всех школ на отопление и освещение) рассчитываем по формулам (6.2.18) и (6.2.16):

Так как для расчета стандартных ошибок оценок мы пользуемся более простыми формулами (кроме оптимального размещения). Учет доли отбора только усложнил бы расчеты, но не оказал бы существенного влияния на точность результатов.

I. Равномерное размещение [формулы (6.2.40), (6.2.43) и столбец 10]:

II. Пропорциональное размещение [формулы (6.2.50), (6.2.52) и столбец 9]:

III. Оптимальное размещение [формулы (6.2.55), (6.2.57), столбцы 4 и 9]:

Представляет интерес также нахождение необходимого объема выборки при различных способах размещения. Предположим, что стандартная ошибка должна быть равна тыс. марок. Тогда необходимый объем выборки составляет:

II. При пропорциональном размещении [формула (6.2.70) и столбец 9]:

I. При равномерном размещении [формула (6.2.66) и столбец 10]:

III. При оптимальном размещении [формула (6.2.74) и столбец 4]:

Из вычислений видно, что с наименьшими затратами желаемая степень точности достигается при оптимальном размещении, далее следует равномерное размещение, при пропорциональном же размещении необходимый объем составляет примерно 170% оптимального.

Результаты расслоенного отбора сопоставим еще с результатами простого случайного отбора. Среднее квадратичное отклонение признака в нерасслоенной совокупности может быть рассчитано-, с помощью данных табл. 6.3 (столбцы 9 и 14) по формуле

    (6.2.82)

Оно составляет:

[s, естественно, может быть вычислено также по результатам нерасслоенной выборки по формуле (5.3.10)]. Стандартные ошибки оценок при нерасслоенном отборе будут тогда составлять [формулы (5.3.17) и (5.3.23)]:

Необходимый объем выборки при нерасслоенном отборе и заданной стандартной ошибке оценки среднего тыс. марок составляет [формула (5.3.40)]:

Итак, видно, что при одинаковом объеме выборки способ расслоенного отбора обеспечивает значительно более точные оценки и соответственно такая же точность может быть достигнута при значительно меньшем объеме выборки. В табл. 6.4 приведены результаты оценивания суммарных и средних затрат на отопление и освещение школ.

Таблица 6.4