8.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАНДАРТНЫХ ОШИБОК ОЦЕНОК С ПОМОЩЬЮ ВЕЛИЧИНЫ ВАРИАЦИОННОГО РАЗМАХА R

Существует способ быстрого определения приближенных значений стандартных ошибок , который совершенно не требует расчета средних квадратов отклонений.

Предположим, что средние (или суммарные) значения признака для g подвыборок упорядочены по величине:

Тогда размах R— определяется как разность:

Аналогично размах суммарных значений признака получаем как разность:

Естественно, в силу (8.5) имеем:

Размах R упорядоченной последовательности случайных величин представляет собой случайную величину. Его математическое ожидание зависит от средних квадратичных отклонений Ътих случайных величин. При g = 5 следует ожидать, что размах велик, если эти величины сильно рассеяны, и мал, если их рассеяние меньше.

Можно показать, что при нормально распределенных случайных величинах математическое ожидание размаха пропорционально среднему квадратичному отклонению; таблицы коэффициентов пропорциональности имеются, например, в [21], [26].

Таким образом,

и аналогично

Отсюда стандартная ошибка средних значений для подвыборок и стандартная ошибка суммарных значений для подвыборок соответственно равны:

и

Математические ожидания, однако, неизвестны. В каждом конкретном случае имеется только одно наблюденное значение или размаха средних или суммарных значений признака для подвыборок. Значения

являются соответственно несмещенными оценками стандартных ошибок средних и суммарных значений признака для подвыборок. Отсюда получаем приближенное значение стандартной ошибки оценки, подставляя (8.16) в (8.2):

и

В табл. 8.1.

Формулы (8.17) и (8.18) можно переписать следующим образом:

Так как выборочное обследование, как правило, охватывает множество признаков [например, в 1966 г. в Болгарии проводилось обследование, охватывавшее 2300 (!) признаков], то эти формулы дают возможность, умножая размах на коэффициенты, приведенные в таблице, очень быстро получать приближенные значения стандартных ошибок оценок. Аналогичным образом может быть получена стандартная ошибка оценки произвольного параметра, рассчитанная по результатам выборки [см. пояснения перед формулой

Таблица 8.1. Некоторые константы b зависимости от числа подвыборок g

(8.8)]. Пусть — оценка этого параметра, полученная по результатам подвыборки, а

есть размах по всем подвыборкам. Тогда вместо формулы (8.8) можно воспользоваться формулой

Пример. При определении средних вкладов молодых вкладчиков (на определенный день) общая выборка была разделена на 10 подвыборок. Размах средних значений в подвыборках составлял марки. Какова стандартная ошибка оценки среднего вклада по всей выборке? Из столбца 4 табл. 8.1 получаем отсюда марки.

При определении доверительного интервала оценок здесь нельзя пользоваться квантилями нормального распределения. Поскольку число g выборок мало, необходимы квантили -распределения степенями свободы и уровнем доверительной вероятности 1 — а.

Столбец 6 табл. 8.1 содержит значения -распределения для 95%-ного уровня доверительной вероятности в зависимости от числа g подвыборок.

В приведенном примере половина ширины доверительного интервала равна марки и 95%-ныи доверительный интервал составляет марки.