28.4. Получение интегрируемой функции S2.

Мы приходим к заключению, что член третьего порядка в матрице рассеяния может быть представлен в виде

где есть регулярная операторная функция, в коэффициентных функциях которой должны быть взяты: функции для простых линий, функции — для замкнутых диаграмм, изображенных на рис. 17, а, б, и функция — для вершинной части (рис. 20).

Тогда очевидно, что при снятии регуляризации все коэффициентные функции оператора сходятся к конечным пределам, зависящим от . Члены выражения (24), содержащие функции

учитывают расходимости второго порядка, соответствующие диаграммам типа рис. 18, а квазилокальный оператор

соответствует расходимостям вершинных частей (рис. 20).

Члены, содержащие функции А, после интегрирования по дают в S-матрицу вклад

который компенсируется членами содержащими контрчлены

Последний расходящийся член в (24) должен быть скомпенсирован добавлением в лагранжиан взаимодействия нового контрчлена третьего порядка по :

Таким образом, после введения в лагранжиан дополнительных контрчленов и перехода к пределу мы получаем для членов S-матрицы второго и третьего порядка интегрируемые выражения

Подчеркнем при этом, что получение для интегрируемых выражений (27) может быть проведено и без обращения к контрчленам, путем соответствующего переопределения T-произведений в области совпадения их аргументов. Последняя возможность является более предпочтительной, поскольку структура контрчленов оказывается зависящей не только от конкретного вида вспомогательной регуляризации, но также и от «области включения» взаимодействия, описываемой функцией .

До сих пор мы ограничивались рассмотрением случая, когда взаимодействие включено полностью во всем пространстве времени и Именно этот случай важен при вычислении матричных элементов процессов рассеяния и взаимного превращения частиц, когда фактическое включение и выключение взаимодействия относится к бесконечно удаленным прошедшему и будущему.

Оказывается, однако, что в случаях, если нас интересуют характеристики систем частиц, находящихся в связанных состояниях (энергетические уровни, времена жизни, вероятности переходов между связанными состояниями (см. подробнее в главе VII) приходится рассматривать положение, когда взаимодействие включено лишь в некоторой части 4-пространства и функция возрастает от нуля до единицы в малых областях около поверхностей, ограничивающих эту часть 4-пространства.

Имея в виду этот последний случай, исследуем структуру контрчленов эффективного лагранжиана обеспечивающих интегрируемость оператора

Рассмотрим члены второго порядка. Контрчлен определяется из условия, являющегося естественным обобщением соотношения (27.35):

Внося сюда выражение разности из (27.31) и интегрируя по частям, находим:

причем оператор определяется соотношением (27.36). Нетрудно также убедиться, что в третьем порядке

причем ) определяется соотношением (26).

Таким образом, при интеграции по частям в X появляются члены, содержащие производные от функции отличающиеся от обычных контрчленов своей операторной структурой. Это обстоятельство окажется существенным при устранении расходимостей из уравнения Шредингера.