54.3. Близость к противоречию.

Скажем в заключение несколько слов по поводу условия 52.3А, в соответствии с которым вакуумные средние от радиационных операторов должны быть «интегрируемыми функциями» в обобщенном смысле.

Попробуем выяснить, что получится, если мы наложим на эти вакуумные средние более жесткое условие, потребовав, чтобы они являлись обычными функциями, для которых существуют интегралы вида

с весовыми функциями Q, убывающими на бесконечности, как

с достаточно высоким значением .

Поскольку мы не ослабляем нашу систему условий, а, наоборот делаем ее более сильной, все доказанные выше теоремы остаются в силе. По-прежнему выполняются, в частности, соотношения (53.52), (26), (27).

Перейдем, например, в (53.53) к представлению. Получим:

где

а — причинная функция для поля с массой .

Но, как известно (см. § 16.2), функция имеет на световом конусе особенность типа . Благодаря положительности весовой функции I в интеграле (30) все эти особенности не компенсируются, а складываются. Действие оператора еще более усиливает характер сингулярности на световом конусе. Вследствие этого интегралы типа (29) расходятся для функций Q, принадлежащих к рассматриваемому классу — вакуумным ожиданиям радиационных операторов.

Итак, оказалось достаточным несколько сузить одно из условий системы §§ 52.2, 52.3, чтобы прийти к внутреннему противоречию. Разумеется, отсюда нельзя делать заключений о совместности самой «недеформированной» системы условий §§ 52.2, 3. Мы хотим лишь обратить внимание на то, что вопрос о внутренней непротиворечивости всей локальной теории не является вполне ясным.