§ 23. Приведение S-матрицы к нормальной форме
23.1. Структура коэффициентов матрицы рассеяния.
Обратимся теперь к разработке удобной рецептуры приведения к нормальной форме Т-произведений лагранжианов, определяющих операторные выражения
входящие в матрицу рассеяния. Для большей наглядности удобно начать изложение с какого-либо конкретного случая. Рассмотрим поэтому взаимодействие электромагнитного и спинорного электрон-позитронного полей. Мы будем считать в соответствии с установившейся традицией, что электроны являются основными частицами спинорного поля, а позитроны — античастицами. Поэтому операторы спинорного поля
(см. § 13) описывают рождение и уничтожение электронов, а операторы
— соответственно позитронов. Разумеется, ввиду полной симметрии нашего изложения можно было бы считать основными частицами позитроны, а электроны — античастицами.
При этом роли операторов
поменялись бы местами и нужно было бы лишь изменить знак электрического тока, имеющего в принятой нами обычной форме вид
Здесь
— величина электрического заряда электрона, умноженная на
и равная
в употребляемой нами натуральной системе единиц
Лагранжиан взаимодействия электромагнитного и электрон-позитронного полей согласно (8.15) имеет вид
Принимая во внимание элементарные хронологические спаривания
(22.9)
рассмотрим процесс приведения к нормальной форме отдельных членов S-матрицы
(21.31)
зависящих от лагранжиана (3). Член первого порядка уже записан в нормальной форме:
Во втором порядке получаем:
Ввиду взаимной коммутативности операторов электромагнитного и электрон-позитронного полей входящее сюда T-произведение может быть представлено в виде произведения двух T-произведений:
Первый сомножитель
был нами раскрыт в предыдущем параграфе (22.17), а второй раскрывается элементарно с помощью формулы (22.3) и спаривания электромагнитного поля (22.7). Получаем поэтому
В выражениях (4), (5) принят порядок записи матричных операторов, при котором под знаком нормального произведения операторные спиноры f и
всегда располагаются по определенному принципу. Согласно (3) в каждый X входит по одному спинору
. Под знаком Т-произведения в члене
порядка стоит поэтому n операторов
и и операторов
. В процессе приведения Т-произведения к нормальному виду некоторые пары операторов
заменяются соответствующими спариваниями. Таким образом, после приведения отдельных членов Т-произведения к нормальному виду в каждом из членов полученного выражения (например, в членах (5)) остается равное число операторов
При этом каждому
можно сопоставить определенный
проследив цепочку аргументов спариваний
Свободные операторы
входящие в нормальные произведения, могут поэтому всегда быть разбиты на пары с совпадающими аргументами (в том случае, если оба оператора
из какого-либо
не подвергались спариваниям) или с аргументами, связанными цепочкой аргументов соответствующих
-функций.
Мы условимся записывать свободные операторы таким образом, чтобы операторы, образующие пары, находились рядом (между ними могут стоять только с-функции), причем чтобы внутри пар
всегда стояло слева от
, т. е. в виде
Перестановки пар между собой не меняют значения нормального произведения, и потому порядок пар безразличен. Все члены в (4) и (5) были записаны в форме (7). В дальнейшем мы всегда будем придерживаться такого способа записи; это позволит просто вывести правило определения знака перед произвольным членом после раскрытия Т-произведения вида (21.31).
Выражения с той же структурой, что и (5), могут быть без труда получены и для членов высших порядков. Пользуясь теоремой Вика для Т-произведений, можно сразу найти, что коэффициент
(с точностью до
) равен сумме нормальных произведений лагранжианов
со всеми возможными спариваниями. С помощью этой теоремы можно также сформулировать правила для автоматической записи элементов матрицы рассеяния в нормальной форме, а следовательно, и матричных элементов.