24.3. Учет свойств симметрии.
При составлении матричных элементов в импульсном представлении необходимо также учитывать свойства симметрии коэффициентов
матрицы рассеяния. Например, симметрия коэффициента
по аргументам
приводит к тому, что диаграммам типа комптоновского рассеяния (рис. 8, в, г) в х-представлении соответствуют два члена в
:
и
интеграция которых по
приводит к совпадающим выражениям.
В общем случае свойство симметрии
относительно любых перестановок аргументов приводит к компенсации множителя
при переходе к импульсному представлению. Необходимо также иметь в виду, что свойства симметрии лагранжиана, а также рассматриваемых диаграмм могут приводить к появлению дополнительных численных множителей. В качестве примера рассмотрим простейшую диаграмму рассеяния (см. рис. 10) в модельной теории с лагранжианом
где
— скалярное поле (подробнее об этой модели см. в § 36). Матричный элемент второго порядка теории возмущений
вычислим с помощью теоремы Вика. Применяя теорему Вика относительно крайнего левого оператора, получаем с учетом того, что аргументы
— немые:
Коэффициент 6 здесь соответствует шести возможным вариантам спаривания оператора
с операторами
из
Применяя повторно теорему Вика относительно
и т. д. с учетом топологии диаграммы рис. 10, получаем последовательно:
Таким образом, симметрия лагранжиана взаимодействия (16) относительно всех трех входящих в него операторов
приводит к эффективной компенсации множителя
стоящего в знаменателе константы связи. Отметим еще, что в случае, когда в начальном и (или) конечном состоянии находится N квантов одного и того же поля (несколько фотонов, электронов, мезонов и т. п.), соответствующая нормированная амплитуда содержит дополнительные нормировочные множители типа
которые также необходимо принимать во внимание.
Рис. 10. Диаграмма рассеяния второго порядка в модельной теории
Разумеется, можно формализовать рассмотренные свойства симметрии и сформулировать соответствующие дополнения к правилам Фейнмана, приведенным в таблице II.
Рис. 11.
Однако, как показывает практика, целесообразно использовать правила соответствия для построения матричных элементов с точностью до численного множителя и знака. Вычисление же численного множителя и знака целесообразнее производить с помощью теоремы Вика.
Отметим, что введенные фейнмановскне диаграммы фактически описывают одновременно несколько процессов.
Так, диаграмма (рис. 11, а) описывает, во-первых, процесс,
котором электрон сначала испускает фотон
, а затем аннигилирует с позитроном
испуская фотон
. Кроме того, та же диаграмма описывает процесс, в котором сначала позитрон
испускает фотон
, а затем аннигилирует с электроном
испуская фотон кг. В первом случае внутренняя электронная линия соответствует движению электрона в ее направлении, во втором — движению позитрона в противоположном направлении.
В общем случае можно считать, что каждая внутренняя электронная линия описывает либо электрон с 4-импульсом
(при
), либо позитрон с 4-импульсом
(при
), а каждая внутренняя фотонная линия описывает фотоны, движущиеся в одном из двух возможных направлений, поскольку вся картина движения частиц в целом не противоречит законам сохранения энергии-импульса
вытекающим из строения вершинных частей матричного элемента. При этом поло-жительно-частотная часть причинной функции
описывает движение в одном направлении, а отрицательно-частотная часть — в противоположном направлении.
Частицы, появляющиеся при таком способе описания лишь в промежуточных состояниях (как, например, фотон в диаграмме типа рис. 8, б), называются виртуальными. Промежуточные состояния реальных частиц, как, например, состояние электрона
(или позитрона
) на диаграмме рис. 11, а соответственно называются виртуальными состояниями.
Виртуальные состояния реальных частиц и состояния виртуальных частиц отличаются от состояний реальных частиц тем, что в этих состояниях энергия и импульс не зависят друг от друга, т. е. в виртуальных состояниях не выполняется соотношение