24.3. Учет свойств симметрии.

При составлении матричных элементов в импульсном представлении необходимо также учитывать свойства симметрии коэффициентов матрицы рассеяния. Например, симметрия коэффициента по аргументам приводит к тому, что диаграммам типа комптоновского рассеяния (рис. 8, в, г) в х-представлении соответствуют два члена в :

и

интеграция которых по приводит к совпадающим выражениям.

В общем случае свойство симметрии относительно любых перестановок аргументов приводит к компенсации множителя при переходе к импульсному представлению. Необходимо также иметь в виду, что свойства симметрии лагранжиана, а также рассматриваемых диаграмм могут приводить к появлению дополнительных численных множителей. В качестве примера рассмотрим простейшую диаграмму рассеяния (см. рис. 10) в модельной теории с лагранжианом

где — скалярное поле (подробнее об этой модели см. в § 36). Матричный элемент второго порядка теории возмущений

вычислим с помощью теоремы Вика. Применяя теорему Вика относительно крайнего левого оператора, получаем с учетом того, что аргументы — немые:

Коэффициент 6 здесь соответствует шести возможным вариантам спаривания оператора с операторами из Применяя повторно теорему Вика относительно и т. д. с учетом топологии диаграммы рис. 10, получаем последовательно:

Таким образом, симметрия лагранжиана взаимодействия (16) относительно всех трех входящих в него операторов приводит к эффективной компенсации множителя стоящего в знаменателе константы связи. Отметим еще, что в случае, когда в начальном и (или) конечном состоянии находится N квантов одного и того же поля (несколько фотонов, электронов, мезонов и т. п.), соответствующая нормированная амплитуда содержит дополнительные нормировочные множители типа которые также необходимо принимать во внимание.

Рис. 10. Диаграмма рассеяния второго порядка в модельной теории

Разумеется, можно формализовать рассмотренные свойства симметрии и сформулировать соответствующие дополнения к правилам Фейнмана, приведенным в таблице II.

Рис. 11.

Однако, как показывает практика, целесообразно использовать правила соответствия для построения матричных элементов с точностью до численного множителя и знака. Вычисление же численного множителя и знака целесообразнее производить с помощью теоремы Вика.

Отметим, что введенные фейнмановскне диаграммы фактически описывают одновременно несколько процессов.

Так, диаграмма (рис. 11, а) описывает, во-первых, процесс, котором электрон сначала испускает фотон , а затем аннигилирует с позитроном испуская фотон . Кроме того, та же диаграмма описывает процесс, в котором сначала позитрон испускает фотон , а затем аннигилирует с электроном

испуская фотон кг. В первом случае внутренняя электронная линия соответствует движению электрона в ее направлении, во втором — движению позитрона в противоположном направлении.

В общем случае можно считать, что каждая внутренняя электронная линия описывает либо электрон с 4-импульсом (при ), либо позитрон с 4-импульсом (при ), а каждая внутренняя фотонная линия описывает фотоны, движущиеся в одном из двух возможных направлений, поскольку вся картина движения частиц в целом не противоречит законам сохранения энергии-импульса

вытекающим из строения вершинных частей матричного элемента. При этом поло-жительно-частотная часть причинной функции описывает движение в одном направлении, а отрицательно-частотная часть — в противоположном направлении.

Частицы, появляющиеся при таком способе описания лишь в промежуточных состояниях (как, например, фотон в диаграмме типа рис. 8, б), называются виртуальными. Промежуточные состояния реальных частиц, как, например, состояние электрона (или позитрона ) на диаграмме рис. 11, а соответственно называются виртуальными состояниями.

Виртуальные состояния реальных частиц и состояния виртуальных частиц отличаются от состояний реальных частиц тем, что в этих состояниях энергия и импульс не зависят друг от друга, т. е. в виртуальных состояниях не выполняется соотношение