§ 13. Спинорное поле

13.1. Квантование по Ферми—Дираку и перестановочные функции.

Из структуры 4-вектора энергии-импульса спинорного поля

видно, что квантованию могут быть подвергнуты независимые амплитуды

Как уже указывалось, требование положительности среднего значения оператора энергии приводит к тому, что спинорное поле должно быть проквантовано по Ферми—Дираку. Поэтому фурье-амплитуды спинорного поля следует считать операторами, удовлетворяющими перестановочным соотношениям Ферми—Дирака

(все остальные антикоммутаторы равны нулю).

Перестановочные соотношения для операторов получим отсюда с помощью формул (7.5), (7.13), (7.14), (7.20), (7.21). Имеем

( — спинорные индексы):

или, по свойству симметрии -функций (11.2а),

Аналогично этому можно показать, что

Вводя обозначение

получаем из (2) и (3):

где

Перестановочные соотношения совместны с уравнениями поля, так как

Для записи перестановочных соотношений (1) в явно ковариантной форме с помощью формул (7.6) перейдем от к функциям которые представим в виде

Для этого воспользуемся уравнениями (7.13), (7.14) и определениями

Операторы подчиняются перестановочным соотношениям, аналогичным соотношениям для ковариантных операторов скалярного поля (10.23):

Переходя в этих выражениях к , имеем: