8.3. Поле Янга—Миллса.
Пусть полевая функция и преобразуется по некоторому представлению калибровочной группы
В случае изотопических преобразований, первоначально рассмотренных Янгом и Миллсом (а также сектора слабых взаимодействий в объединенной модели слабых и электромагнитных взаимодействий Вайнберга—Салама—Глешоу), это — группа
, а поле
, соответствующее изотопическому спину
имеет
компонент, и
— это
-матрица, зависящая от трех параметров изотопических вращений
.
В современной кваркглюонной калибровочной полевой модели сильных взаимодействий (квантовой хромодинамике) центральную роль играет группа
-преобразований в фиктивном пространстве так называемых «цветовых» переменных. В этом случае поле кварков трехкомпонентно
и преобразуется по фундаментальному представлению цветовой группы
а матрицы третьего ранга
зависят от восьми параметров цветовых преобразований
. В силу некоммутативности соответствующих преобразований группы SU (2) и SU (3) являются неабелевыми.
Инфинитезимальная форма преобразований (20) имеет вид
Здесь
— генераторы представления калибровочной группы, по которому преобразуется поле и, а из параметров
выделен общий множитель g. Для того чтобы обеспечить инвариантность лагранжиана поля и относительно преобразования (21) с параметрами
, зависящими от координат, необходимо, в полной аналогии с только что рассмотренным случаем электродинамики, заменить в
все производные дни на ковариантные:
содержащие новое компенсирующее поле В, которое является аналогом электромагнитного поля А из рассуждений пункта 8.2. Однако, в отличие от поля А, являющегося скаляром относительно калибровочных преобразований (9) из группы
(и потому не несущего электрического заряда), новое калибровочное неабелево поле В несет групповые индексы, вследствие чего преобразуется по
более сложному, нежели (12), закону
Кроме градиентного удлинения, с
испытывает также калибровочное вращение. Входящие в (23) матрицы
с компонентами
образуют базис присоединенного представления (т. е. представления бесшпуровыми матрицами
, где N — размерность группы
. В случае группы SU (2)
где
— абсолютно антисимметричный тензор третьего ранга в пространстве трех измерений. Для цветовой группы
тензор t также представляет собой антисимметричный тензор третьего ранга, однако на этот раз в пространстве восьми измерений, а восемь матриц Т могут быть выбраны в виде так называемых матриц Гелл-Манна (см. например главу I книги Славнова, Фаддеева (1978)).
Воспользовавшись тем, что базис присоединенного представления
образует структурные константы, т. е. входит в правую часть перестановочных соотношений для генераторов
нетрудно проверить, что при преобразованиях (21), (23) ковариантная производная (22) преобразуется подобно (21):
Аналогом электромагнитного тензора напряженности
здесь является тензор
В отличие от
инвариантного относительно градиентного преобразования (12), тензор
при преобразованиях (23) преобразуется по присоединенному представлению калибровочной группы:
вследствие чего инвариантный лагранжиан поля Янга—Миллса, не взаимодействующего с другими полями, имеет вид
Это выражение, кроме квадратичных, включает также кубичные члены и члены четвертой степени по компонентам поля В и их производным. Таким образом, свободное поле Янга—Миллса неизбежно содержит самодействие и не удовлетворяет принципу суперпозиции. Важно отметить, что эффекты самодействия неабелева калибровочного поля и его взаимодействия с другими нолями (полями материи) и описываются одной и той же константой связи
Конечные преобразования, отвечающие (23), можно записать в компактной форме, если ввести матрицы-функции
значения которых при каждом х принадлежат присоединенному представлению калибровочной группы. Формула конечного преобразования имеет вид
где
Таким образом, процедура построения калибровочной модели взаимодействующих полей может быть сформулирована следующим образом:
1) Выбираем простую калибровочную группу G и набор полей материи и, преобразующихся по представлениям этой группы и описываемых свободным лагранжианом
2) Вводим калибровочное векторное поле
отвечающее присоединенному представлению группы G, и образуем полный лагранжиан системы (поля материи
поле Янга—Миллса
) по рецепту
В первом члене правой части производные каждого из полей и удлинены по правилу (22) с одной и той же константой g, которая входит также в
и, следовательно, в
Поэтому лагранжиан (30), описывающий систему взаимодействующих (
) полей, в случае простой калибровочной группы содержит всего лишь одну константу связи. Этот лагранжиан как целое инвариантен относительно калибровочного, преобразования (21), (23) всех входящих в него полей.