8.3. Поле Янга—Миллса.

Пусть полевая функция и преобразуется по некоторому представлению калибровочной группы

В случае изотопических преобразований, первоначально рассмотренных Янгом и Миллсом (а также сектора слабых взаимодействий в объединенной модели слабых и электромагнитных взаимодействий Вайнберга—Салама—Глешоу), это — группа , а поле , соответствующее изотопическому спину имеет компонент, и — это -матрица, зависящая от трех параметров изотопических вращений .

В современной кваркглюонной калибровочной полевой модели сильных взаимодействий (квантовой хромодинамике) центральную роль играет группа -преобразований в фиктивном пространстве так называемых «цветовых» переменных. В этом случае поле кварков трехкомпонентно и преобразуется по фундаментальному представлению цветовой группы а матрицы третьего ранга зависят от восьми параметров цветовых преобразований . В силу некоммутативности соответствующих преобразований группы SU (2) и SU (3) являются неабелевыми.

Инфинитезимальная форма преобразований (20) имеет вид

Здесь — генераторы представления калибровочной группы, по которому преобразуется поле и, а из параметров выделен общий множитель g. Для того чтобы обеспечить инвариантность лагранжиана поля и относительно преобразования (21) с параметрами , зависящими от координат, необходимо, в полной аналогии с только что рассмотренным случаем электродинамики, заменить в все производные дни на ковариантные:

содержащие новое компенсирующее поле В, которое является аналогом электромагнитного поля А из рассуждений пункта 8.2. Однако, в отличие от поля А, являющегося скаляром относительно калибровочных преобразований (9) из группы (и потому не несущего электрического заряда), новое калибровочное неабелево поле В несет групповые индексы, вследствие чего преобразуется по

более сложному, нежели (12), закону

Кроме градиентного удлинения, с испытывает также калибровочное вращение. Входящие в (23) матрицы с компонентами

образуют базис присоединенного представления (т. е. представления бесшпуровыми матрицами , где N — размерность группы . В случае группы SU (2)

где — абсолютно антисимметричный тензор третьего ранга в пространстве трех измерений. Для цветовой группы тензор t также представляет собой антисимметричный тензор третьего ранга, однако на этот раз в пространстве восьми измерений, а восемь матриц Т могут быть выбраны в виде так называемых матриц Гелл-Манна (см. например главу I книги Славнова, Фаддеева (1978)).

Воспользовавшись тем, что базис присоединенного представления образует структурные константы, т. е. входит в правую часть перестановочных соотношений для генераторов

нетрудно проверить, что при преобразованиях (21), (23) ковариантная производная (22) преобразуется подобно (21):

Аналогом электромагнитного тензора напряженности здесь является тензор

В отличие от инвариантного относительно градиентного преобразования (12), тензор при преобразованиях (23) преобразуется по присоединенному представлению калибровочной группы:

вследствие чего инвариантный лагранжиан поля Янга—Миллса, не взаимодействующего с другими полями, имеет вид

Это выражение, кроме квадратичных, включает также кубичные члены и члены четвертой степени по компонентам поля В и их производным. Таким образом, свободное поле Янга—Миллса неизбежно содержит самодействие и не удовлетворяет принципу суперпозиции. Важно отметить, что эффекты самодействия неабелева калибровочного поля и его взаимодействия с другими нолями (полями материи) и описываются одной и той же константой связи

Конечные преобразования, отвечающие (23), можно записать в компактной форме, если ввести матрицы-функции

значения которых при каждом х принадлежат присоединенному представлению калибровочной группы. Формула конечного преобразования имеет вид

где

Таким образом, процедура построения калибровочной модели взаимодействующих полей может быть сформулирована следующим образом:

1) Выбираем простую калибровочную группу G и набор полей материи и, преобразующихся по представлениям этой группы и описываемых свободным лагранжианом

2) Вводим калибровочное векторное поле отвечающее присоединенному представлению группы G, и образуем полный лагранжиан системы (поля материи поле Янга—Миллса ) по рецепту

В первом члене правой части производные каждого из полей и удлинены по правилу (22) с одной и той же константой g, которая входит также в и, следовательно, в Поэтому лагранжиан (30), описывающий систему взаимодействующих () полей, в случае простой калибровочной группы содержит всего лишь одну константу связи. Этот лагранжиан как целое инвариантен относительно калибровочного, преобразования (21), (23) всех входящих в него полей.