55.3. Область интегрирования.

Рассмотрим теперь ограничения на область интегрирования по вытекающие из свойства спектральности (6). Условия, определяющие область R, могут быть записаны в общем виде, включающем физически важный случай (7):

Эти условия определяют две пространственно-подобные и достаточно гладкие поверхности в 4-мерном -пространстве.

Как следует из (10), связь между пространствами q и и, № осуществляется с помощью условия

Оно определяет в 4-мерном пространстве q двухполостный гиперболоид , параметрически зависящий от переменных . Будем называть этот гиперболоид допустимым, если его верхняя полость не имеет точек, лежащих ниже , а нижняя полость не имеет точек, лежащих выше (см. рис. 67), т. е.

Множество допустимых гиперболоидов соответствует множеству точек S в пятимерном -пространстве

Рис. 67. Пример допустимого гиперболоида в симметричном случае.

Ясно теперь, что если интегрирование в (10) проводится только по множеству S, то удовлетворяет условию спектральности (6). Обратное утверждение также является справедливым, т. е. любая причинная функция , удовлетворяющая условию спектральности, представима в виде интеграла (10), причем область интегрирования содержится в S. Доказательство этого обратного утверждения основывается на единственности представления Йоста—Лемана (1957). Другое доказательство, более последовательно учитывающее сингулярный характер обобщенных функций, содержится в § 32 монографии Владимирова (1964).

Определим теперь в явном виде область S. Используя для и явные выражения (7), получаем из (28)

причем

и

Для симметричного случая находим отсюда

Выбирая гиперплоскость интегрирования в виде получаем область интегрирования для представления Йоста — Лемана (см. рис. 67)

В несимметричном случае область S оказывается несимметричной относительно замены и выбрать поверхность интегрирования в виде невозможно. В этом случае получим вместо (32) более общее ограничение, которое может быть записано в виде