55.3. Область интегрирования.
Рассмотрим теперь ограничения на область интегрирования по
вытекающие из свойства спектральности (6). Условия, определяющие область R, могут быть записаны в общем виде, включающем физически важный случай (7):
Эти условия определяют две пространственно-подобные и достаточно гладкие поверхности
в 4-мерном
-пространстве.
Как следует из (10), связь между пространствами q и и, № осуществляется с помощью условия
Оно определяет в 4-мерном пространстве q двухполостный гиперболоид
, параметрически зависящий от переменных
. Будем называть этот гиперболоид допустимым, если его верхняя полость
не имеет точек, лежащих ниже
, а нижняя полость
не имеет точек, лежащих выше
(см. рис. 67), т. е.
Множество допустимых гиперболоидов соответствует множеству точек S в пятимерном
-пространстве
Рис. 67. Пример допустимого гиперболоида в симметричном случае.
Ясно теперь, что если интегрирование в (10) проводится только по множеству S, то
удовлетворяет условию спектральности (6). Обратное утверждение также является справедливым, т. е. любая причинная функция
, удовлетворяющая условию спектральности, представима в виде интеграла (10), причем область интегрирования содержится в S. Доказательство этого обратного утверждения основывается на единственности представления Йоста—Лемана (1957). Другое доказательство, более последовательно учитывающее сингулярный характер обобщенных функций, содержится в § 32 монографии Владимирова (1964).
Определим теперь в явном виде область S. Используя для
и явные выражения (7), получаем из (28)
причем
и
Для симметричного случая
находим отсюда
Выбирая гиперплоскость интегрирования в виде
получаем область
интегрирования для представления Йоста — Лемана (см. рис. 67)
В несимметричном случае область S оказывается несимметричной относительно замены
и выбрать поверхность интегрирования в виде
невозможно. В этом случае получим вместо (32) более общее ограничение, которое может быть записано в виде