ГЛАВА VIII. МЕТОД ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УСРЕДНЕНИЯ

§ 43. Континуальный интеграл в квантовой теории поля

43.1. Введение.

Мы приступим теперь к рассмотрению различных попыток выхода за рамки теории возмущений. Среди этих попыток большой интерес представляет изложенный в настоящей главе метод, который основан на использовании континуального интеграла, введенного в свое время Фейнманом (1948а) Как будет показано, здесь удается получить замкнутые выражения для полных функций Грина, включающих в себя все радиационные поправки. Эти выражения можно рассматривать как формулы усреднения классических функций Грина для частиц, движущихся в заданном внешнем поле, по квантовым флуктуациям этого поля. Континуальные интегралы по функциональному пространству возникают именно в процессе такого усреднения.

Следует отметить, что исследования в этой области еще далеки от своего завершения; здесь имеется ряд нерешенных вопросов как технического, так и принципиального характера.

Представления функций Грина в виде континуальных интегралов могут быть получены различными способами. Один из них основывается на формальном интегрировании уравнений в вариационных производных для функций Грина, рассмотренных в § 38. Мы, однако, изложим другой, по нашему мнению, более простой путь (Боголюбов (1954)), который исходит из представления функций Грина через вакуумные ожидания хронологических произведений, причем операция вакуумного усреднения интерпретируется как функциональный интеграл.

Будем исходить из полученных в § 37 выражений для полных функций Грина

в виде вариационных производных от производящего функционала (ср. (37.12))

Здесь для простоты мы пока ограничиваемся случаем теории с одним скалярным полем:

    (37.10)

В более общем случае производящий вакуумный функционал содержит ферми-аргументы, а операция содержит усреднение как по бозонному, так и по фермионному вакуумам. Однако при вычислении вакуумных средних операции усреднения по бозе- и ферми-вакуумам можно проводить независимо, так как соответствующие выражения представляются линейными формами произведений вакуумных средних по каждому вакууму. Мы начнем сейчас с изучения процедуры вычисления среднего по бозе-вакууму. Эта операция является исчерпывающей для класса квантовополевых моделей, не содержащих ферми-полей. В соответствии с только что сказанным она является также необходимым независимым этапом при рассмотрении моделей, содержащих как бозе-, так и ферми-поля. Наконец, как будет показано, она является логическим предшествием к вычислению средних по ферми-вакууму.

Поставим задачу определения вакуумного среднего от произвольного функционала F, зависящего от операторных функций действительного поля , квантованных по Бозе—Эйнштейну, . При этом мы будем считать, что хронологические спаривания операторов заданы и в импульсном представлении имеют вид

Рассмотрим сначала частный случай, когда F имеет экспоненциальную форму, и определим выражение

где — произвольная функция.