15.2. Причинная функция Грина скалярного поля.

В квантовой теории поля исключительно важную роль играет причинная функция Грина описывающая, как говорят, причинную связь процессов рождения и уничтожения частиц в различных точках пространства-времени . Мы установим конкретный вид функции ограничиваясь для начала случаем скалярного поля.

Процесс рождения скалярной частицы в точке х и ее последующего уничтожения в точке у описывается матричным элементом

При этом, очевидно, следует считать, что Напротив, при частица рождается в точке у и уничтожается в точке . Этому процессу соответствует выражение

Таким образом, причинная функция при должна быть пропорциональна функции , а при — функции . Для установления вида этой функции воспользуемся отмеченным выше обстоятельством, что любое решение уравнения (2) может быть представлено в виде суммы его частного решения и линейной комбинации решений однородного уравнения.

Выбирая, например, в качестве такого частного решения запаздывающую функцию Грина, получим формулу для любого решения уравнения (2) в следующем виде:

где - некоторые произвольные численные коэффициенты. Полагая здесь приходим к выражению

которое удовлетворяет всем предъявляемым к условиям.

Чтобы получить для причинной функции

выражение в импульсном представлении, заметим, что разность может быть там представлена в виде

что

Причинная функция может быть непосредственно выражена через матричные элементы типа (10), (11). Введем для этого хронологическое произведение (иначе Т-произведение) двух операторов поля равное произведению этих операторов в порядке справа налево, соответствующем возрастанию временных аргументов с учетом общего знака, который может меняться в том случае, если операторы квантованы по Ферми — Дираку, т. е.

(+ для бозе-операторов, - для ферми-операторов).

Вычисляя матричный элемент (14) по состоянию вакуума для рассматриваемого скалярного поля с помощью (10) и (11), получаем:

Таким образом,