21.6. Анализ произвола в функциях Sn и наиболее общий вид S(g).

Мы убедились, что выражение

является допустимым в смысле удовлетворения всем наложенным на условиям. Оказывается, однако, что это выражение не является самым общим выражением, удовлетворяющим указанным условиям. Рассмотрим поэтому вопрос о построении наиболее общего выражения для удовлетворяющего условиям симметрии, ковариантности, причинности и унитарности, и тем самым полностью решим задачу построения оператора

Исследуем для этого прежде всего процедуру определения функции по заданным предыдущим функциям Условием унитарности определяется через них с точностью до некоторого антиэрмитова оператора, который мы обозначим через . Кроме того, величина должна быть симметричной функцией своих аргументов. Условие причинности (13) полностью определяет операторную функцию через предыдущие функции в области определения своих аргументов, в которой (хотя бы одного из .

Поэтому в указанной области антиэрмитов оператор должен быть равен нулю. Из его симметричности по всем аргументам следует, что он равен нулю также, если хотя бы для одной пары аргументов

и может, следовательно, отличаться от нуля лишь при совпадении всех аргументов:

Таким образом, из условий причинности, унитарности и симметрии вытекает, что эрмитов оператор есть квазилокальный оператор в смысле, определенном в § 17, и его коэффициенты функции имеют вид

причем по соображениям трансляционной инвариантности Z не может зависеть от

Итак, установлено, что условия инвариантности, симметрии, унитарности и причинности определяют по заданным

с точностью до , где эрмитов симметричный квазилокальный оператор, преобразующийся как скаляр. Поэтому, чтобы получить выражение для необходимо, кроме локального оператора задать цепочку квазилокальных операторов

Мы пришли к несколько странным на первый взгляд результатам. Для полного определения матрицы задание лагранжиана взаимодействия оказывается недостаточным и необходимо задать еще бесконечную цепочку квазилокальных операторов.

Для того чтобы уяснить это, подойдем к рассматриваемому вопросу с другой стороны. Исследуем выражение

в котором «лагранжиан» определяется соотношением

    (39)

В силу квазилокального характера функций все интеграции в (39) снимаются и фактически зависит от функций поля и в точке являясь поэтому локальным оператором. Кроме операторов поля и выражение зависит также от функций которые можно рассматривать как «классическое» поле. Следовательно, (38) удовлетворяет всем наложенным на условиям, в том числе условию соответствия (20), и может рассматриваться как выражение для матрицы рассеяния S (g). Разлагая (38) в ряд по степеням g, мы получим выражения для , удовлетворяющие всем наложенным на них условиям. Имеем:

Подставляя сюда разложение (39), получаем:

где мы положили в соответствии с (16) и Символом

обозначено произведение операторов взятых в хронологическом порядке временных аргументов. Множественность аргументов у каждого из не должна нас смущать, так как, по определению, отличен от нуля лишь при совпадении своих аргументов.

Перестроим теперь этот ряд по степеням выделив члены, в которые входит в степени и которые содержат интеграций:

Последнее разложение отличается от разложения (1) еще несимметричным характером коэффициентов при «степенях» функции g (а). Для их симметризации, пользуясь симметрией весового множителя при каждом данном и симметрией функций произведем раз замену обозначений переменных так, чтобы сумма всех полученных выражений с учетом симметрии стала симметричной функцией всех аргументов . Разделив результат на число мы приходим к выражению

где — оператор симметризации по произвольным разбиениям совокупности точек на всевозможных разбиений по точек Этот оператор является естественным обобщением введенного выше оператора

Итак, матрица (38) представлена в виде (1), где коэффициенты имеют вид

Среди членов, возникающих в сумме, имеются одинаковые члены, соответствующие эквивалентным разбиениям, т. е. разбиениям, содержащим группы одинаковых значений индексов

Таких членов, отличающихся до симметризации лишь значениями аргументов, оказывается . В результате симметризации все эти члены становятся тождественными. При этом симметризация внутри групп типа приводит лишь к появлению множителя Соответствующие члены являются симметричными до применения оператора Р в силу перестановочности функций под знаком хронологического произведения. Операцию симметризации по всем разбиениям, кроме эквивалентных, будем обозначать символом Р. Вспоминая, что запишем формулу (40) для в виде

Здесь, например, первый член соответствует эквивалентным членам, так как содержит группу одинаковых индексов

Рассмотрим несколько простых случаев формулы (40).

При получаем

При имеем соответственно

Мы видим отсюда, что каждая последующая функция выражается через предыдущие через хронологические произведения ) с точностью до симметричного антиэрмитового квазилокального оператора Выражение (41) является наиболее общим выражением для , а

где определяется разложением (21.39) — наиболее общим выражением для матрицы рассеяния. Таким образом, цепочка квазилокальных операторов (37), которую необходимо задать для полного определения матрицы рассеяния 5 (g), может быть включена в «лагранжиан» взаимодействия.

Возникает вопрос о физическом смысле линейной комбинации (39) и интегралов от квазилокальных операторов, играющей роль наиболее полного возможного лагранжиана. Структура и взаимосвязь выражений (39) и (41), содержащих произвольные квазилокальные операторы обусловлены чисто математическим свойством разложений теории возмущений в целом, замеченным еще Пуанкаре.

Для иллюстрации указанного свойства рассмотрим дифференциальное уравнение

решение которого содержит одну произвольную константу С:

Считая малым параметром, будем решать уравнение (43) методом последовательных приближений. В каждом из приближений после интеграции мы будем получать произвольную константу соответствующего порядка малости по е. Поэтому при решении уравнения (43) методом теории возмущений вместо одной произвольной постоянной С мы получим бесконечный набор произвольных постоянных, имеющих различный порядок малости по в:

По существу это эквивалентно разложению константы С в ряд по степеням , т. е.

Точно таким же образом в наших рассуждениях была использована нефизическая операция «включения» взаимодействия. При этом получилось, что часть лагранжиана «включилась» в первом приближении, часть — во втором, часть — в и лагранжиан взаимодействия оказался разбитым на цепочку отдельных частей. Физический смысл, однако, имеет лишь положение, когда взаимодействие включено полностью. При этом функция и

выражение (39) принимает вид

Следовательно, реальная матрица рассеяния S (1) полностью характеризуется эрмитовым лагранжианом взаимодействия системы который в теории возмущений иногда представляется в виде ряда.

При обычном изложении теории поля на основе уравнения Шредингера представление для матрицы рассеяния получается в виде

где — плотность гамильтониана взаимодействия. Однако совпадает с , а T-произведения в формулах (45) и (46) имеют одинаковый смысл лишь в особенно простых случаях, когда X не зависит от производных функций поля. При наличии же производных в (45) подразумевается виково, а в (46) — дайсоново T-произведение, на различие между которыми указывалось в § 15.3. В частности, дайсоново Г-произведение, упорядочение в котором проводится с помощью явных -функций, нековариантно, и Н содержит, кроме , также некоторые нековариантные члены. Подчеркнем, что (45) и (46) относятся к одной и той же S-матрице, и переход от одного типа Г-произведения к другому позволяет преобразовать одну из этих формул к другой (см. Суханов (1961), Павлов, Тавлуев (1971)).