39.2. Уравнение Шредингера в представлении взаимодействия и уравнение Томонага—Швингера.

Исследуем поведение оператора в процессе устремления непрерывной функции к упомянутому разрывному пределу. Напомним, прежде всего, что, как было показано в § 21.2, обобщенный гамильтониан может быть представлен в виде функционального разложения по степеням

взаимодействия

где выражены с помощью соотношений

через коэффициенты разложения матрицы и в силу условия причинности, накладываемого на S (g), обладают свойством

Поэтому интеграция по каждому из в членах разложения (3) фактически происходит по световому конусу точки направленному в будущее. Сходимость интегралов, входящих в (3), будет обеспечена надлежаще быстрым (например, экспоненциальным) убыванием достаточно гладкой весовой функции при стремящемся к бесконечности. Этому условию функция будет, очевидно, удовлетворять, если ее определить как аппроксимацию известной разрывной функции (см. (3.18)), равной нулю при значениях больших некоторого параметра . Положим, например,

выбрав при этом достаточно гладкую функцию f (t). Ясно, что интегралы (3) при этом выборе сходятся, поскольку при убывает достаточно быстро, а от поведения на пространственной и отрицательной временной бесконечностях в силу свойства (21.13) интегралы (3) не зависят.

Сделанный выбор соответствует включению взаимодействия во всем -пространстве во время от — до момента а постепенному выключению в интервале от до

Амплитуду состояния теперь можно рассматривать как функцию параметра :

Определяя из (5) вариацию

находим с помощью (2)

откуда следует:

По определению функции интеграция производится здесь по временному «слою» от до . С другой стороны, интеграция в (3) происходит по световому конусу с «высотой»

Учитывая, что в во всяком случае больше, чем получаем (рис. 59), что

Рис. 59.

Таким образом, интеграция в (3) производится по области, удовлетворяющей условию

Поэтому входящий в (6) «эффективный» гамильтониан зависит от поведения функции поля в окрестности точки х порядка . Если бы имелась возможность перейти в (6) к пределу и вместо оперировать с , то мы получили бы вместо него уравнение

в котором плотность гамильтониана зависит от поведения полей в бесконечно малой окрестности точки Уравнение (8), по существу, и есть уравнение Шредингера в представлении взаимодействия.

До сих пор говорилось о специальном случае выключения взаимодействия вдоль плоскости Нетрудно, однако, обобщить это рассуждение. Рассмотрим пространственно-подобную поверхность а

для которой условие пространственного подобия выполняется в сильном смысле:

с постоянной . Введем разрывную функцию такую, что

т. е. и рассмотрим какую-либо достаточно гладкую функцию отличающуюся от лишь внутри слоя

Ясно, что тогда эффективная область интеграции по каждому в выражении

подобно разобранному случаю определяется пересечением верхнего светового конуса точки х и «слоя» высотой вокруг поверхности а, расположенного под углом к оси конуса, не меньшим, чем

Из рис. 60 видно, что высота той части конуса, в которой заключена область интеграции (на чертеже заштрихована), не превышает величины

Рис. 60.

Поэтому область интеграции ограничена неравенствами

Как видно, в этом случае временные и пространственные размеры эффективной области интеграции в (10) не превосходят величины, пропорциональной Оператор будет поэтому зависеть от состояния полей только в окрестности точки причем размеры окрестности приближаются к нулю при утончении «слоя размытости», выделяемого функцией

Совершим теперь в уравнении (2) формальный переход к пределу, соответствующий бесконечному утончению слоя размытости :

При этом вариации будет соответствовать вариация поверхности а, причем

Вспомним определение вариационной производной по поверхности о:

где объем, заключенный между поверхностями и а, а а получается малой деформацией поверхности а вблизи точки Очевидно,

является 4-мерным объемом размытости.

В результате описываемого предельного перехода уравнение (2) перейдет в

или

где оператор

зависит от поведения полей лишь в бесконечно малой окрестности точки х на поверхности . Мы получили известное уравнение Томонага — Швингера.

Таким образом, при сжатии области изменения функции и устремлении ее к разрывному пределу мы действительно можем получить из (1) как обычное уравнение Шредингера (8), так и уравнение Томонага—Швингера (13). При этом эффективный гамильтониан или определяется формулами (8) и (14).