14.4. СРТ-теорема.

Покажем теперь, каким образом используются выведенные выше правила при построении лагранжианов, инвариантных относительно совокупности преобразований С, Р и T (см. Граверт, Людерс, Рольник 1959)). Читатель без труда убедится самостоятельно, что лагранжианы свободных полей инвариантны относительно каждой из этих операций в отдельности (исключая отмеченный выше случай свободного нейтринного поля). Поэтому для иллюстрации рассмотрим лагранжиан взаимодействия двух спинорных и одного бесспинового полей

Для упрощения изложения запишем в виде и будем считать все фазовые множители вещественными, положив Используя выписанные выше соотношения для преобразования Р, нетрудно проверить, что

Таким образом, лагранжиан инвариантен относительно преобразования Р, если при или если при . Если -четности полей и одинаковы, т. е. , то лагранжиан инвариантен для псевдоскалярного поля при а для скалярного

Для того чтобы найти правильный закон преобразования лагранжиана X при преобразовании С, необходимо учитывать антикоммутативность спинорных полей под знаком нормального произведения, которое всегда подразумевается при написании лагранжианов в квантовой теории. Например,

Для получения последнего равенства здесь была использована антикоммутативность спиноров . Выполняя аналогичные преобразования для всех членов лагранжиана, получим

откуда легко найти условия инвариантности относительно зарядового сопряжения.

Рассмотрим, наконец, Г-преобразование, Пользуясь формулами, приведенными выше, находим, что

Выполнив теперь последовательно все три преобразования, получим

где . Пользуясь произволом в определении фазового множителя , мы всегда можем выбрать его таким образом, что . Отсюда следует, что лагранжиан (16), о котором мы предполагали лишь, что он эрмитов и инвариантен при собственных преобразованиях Лоренца, оказывается инвариантным и относительно преобразования РСТ (СРТ, TCP и т. д.). Этот результат составляет сущность СРТ-теоремы Людерса — Паули (подробнее см. Паули (1955), Граверт, Людерс, Рольник (1959)). Проведенные выше рассуждения легко обобщаются на случай произвольного эрмитова лагранжиана, представленного в виде полинома конечной степени по полям и их производным (не выше конечного порядка), преобразующимся по неприводимым представлениям собственной группы Лоренца.

В проведенном рассуждении требование локальности взаимодействия играло существенную роль. В рамках аксиоматической формулировки квантовой теории поля это требование удается несколько ослабить. Доказательство СРТ-теоремы в аксиоматическом подходе было дано Р. Йостом (см. Йост (1965); Стритер, Вайтман (1964); Боголюбов, Логунов, Тодоров (1969.)). При этом также предполагается, что лагранжиан записан в виде нормального произведения и что имеет место связь между спином и статистикой: поля с целым спином коммутируют между собой и с другими нолями, а поля с полуцелым спином антикоммутируют друг с другом, но коммутируют с полями целого спина.