23.2. Диаграммы Фейнмана и правила соответствия.

Для осуществления подобной записи элементам S-матрицы ставятся в соответствие графические схемы, введенные впервые Фейнманом (1949а, б), которые мы будем именовать диаграммами Фейнмана.

Чтобы ввести диаграммы Фейнмана, необходимо установить определенные правила соответствия. Как мы выяснили, операторные

функции в соответствии с теоремой Вика представляются в виде суммы членов, каждый из которых является произведением некоторого числа спариваний операторов электромагнитного поля и спинорного поля с нормальным произведением свободных операторов и некоторым числом матриц .

Очевидно, для графического описания членов матрицы рассеяния в рассматриваемом нами случае (3) достаточно задать графическое изображение двух спариваний

трех свободных операторов

и вершинного фактора

Условимся поэтому спаривание

симметричное по своим аргументам и изображать на диаграмме волнистой линией, соединяющей точки

эту линию можно считать изображением движения фотека точками

Несимметричному спариванию

сопоставим на диаграмме направленную линию, соединяющую точки Направление линии целесообразно выбрать по соображениям наглядности. Как мы уже условились считать, оператор описывает рождение позитрона и уничтожение электрона а точке , а оператор описывает рождение электрона и уничтожение позитрона в точке у. Другими словами, оператор как бы соответствует вхождению электрона в точку — выходу электрона из этой точки (и наоборот, по отношению к позитрону). Поскольку основными частицами спинорного поля считаются электроны, естественно спариванию сопоставить на диаграмме линию, направленную из точки в точку , т. е.

Введенные таким образом направленные линии можно считать изображением движения электрона между точками диаграммы изображением движения позитрона отточки к точке .

Свободным операторам сопоставим линии, соединяющие точку х с краем диаграммы. При этом оператору соответствует волнистая ненаправленная (фотонная) линия:

оператору — направленная (электронная) линия, входящая в точку х:

а оператору — направленная (электронная) линия, выходящая из точки х:

Матрице Дирака у из лагранжиана умноженной на константу взаимодействия (см. (3)) и на фактор , сопоставим на диаграмме точку в которой сходятся одна фотонная линия, одна входящая и одна выходящая электронные линии:

Такие точки будем называть узлами (или вершинами) диаграммы В таблице I приведена сводка правил соответствия между сомно жителями членов операторных функций и элементами диаграмм Фейнмана.

Правила соответствия установлены так, что диаграмма, соответствующая одному из членов в нормальной форме, через который выражается операторная функция состоит из узлов и некоторого количества внутренних и внешних фотонных и электронных линий. В силу локального характера лагранжиана взаимодействия (3) в каждый узел входит и выходит одна электронная линия. Таким образом, электронные линии всей диаграммы непрерывны в узлах и образуют либо замкнутые фигуры, либо незамкнутые ломаные линии, начинающиеся и оканчивающиеся на краях диаграммы. При этом цепочке аргументов спариваний (6)

Таблица 1. Правила соответствия

(см. скан)

соответствует последовательность узлов отдельных электронных линий диаграммы, а парам свободных операторов под знаком нормального произведения — начало и конец отдельных незамкнутых электронных линий. Характерной особенностью правил соответствия является также то обстоятельство, что коэффициентным функциям операторных выражений

целиком состоящим из хронологических спариваний операторов , соответствуют внутренние линии диаграммы, а свободным операторам под знаком нормального произведения — ее внешние линии.

В качестве примера рассмотрим один из членов второго порядка, входящий в выражение (5) для ,

Используя правила соответствия, получаем соответствующую диаграмму Фейнмана (рис. 3) (так называемую «диаграмму собственной энергии фотона»; подробнее см. в § 27).

Вторым примером рассмотрим один из членов третьего порядка, входящий в ,

Правила соответствия в этом случае приводят нас к диаграмме, изображенной на рис. 4,

Из рассмотрения простейших диаграмм (рис. 3 и 4) видно, что движение по направлению электронной линии в точности соответствует порядку матричных элементов справа налево в соответствующем члене S-матрицы. Например, во втором случае, представляя диаграмму рис. 4 в виде рис. 5, получаем в точности тот же порядок некоммутирующих матричных сомножителей

что и в (9).

Отметим, что построение по сформулированным правилам нормальных произведений со спариваниями, соответствующих различным диаграммам, может привести к ошибке в знаке. Поэтому установленные выше правила соответствия должны быть дополнены правилом знаков.

С этой целью заметим, что ошибка в знаке происходит лишь в выражениях, соответствующих замкнутым электронным циклам. В самом деле, по правилам соответствия диаграмма рис. 3 соответствует выражению

которое отличается знаком от (8). Ясно также, что и в более общем случае такое отличие в знаке будет иметь место для любой группы спариваний, соответствующей каждому из замкнутых циклов диаграммы, независимо от порядка этих циклов. Отсюда вытекает, что выражение, полученное по правилам соответствия, должно быть дополнительно умножено на

где — число замкнутых циклов в рассматриваемой диаграмме.

Рис. 3. Диаграмма собственной энергии фотона.

Рис. 4. Вершинная диаграмма третьего порядка.

Рис. 5.