53.4. Спектральное представление ...

Полученные заключения об аналитической функции позволяют обратиться к получению спектральных представлений типа (29) для . С этой целью мы воспользуемся интегральной теоремой Коши, подобно тому как это было сделано в § 52.1. Введем вспомогательную функцию

с соответствующим качестве замкнутого контура выберем контур, изображенный на рис. 66. Переходя к пределу при , а затем полагая получаем:

Вычисляя интеграл по малому кругу радиуса q вокруг точки и используя (47), находим:

Соотношения (49) — (51) позволяют сразу перейти в (52) к любой из функций . Так, например, имеем для

Аналогичные соотношения, отличающиеся от (53) заменой на могут быть выписаны и для

Заметим здесь, что спектральное представление (53) формально можно было бы получить непосредственно из (18), (29) с помощью «вычнтательного

формализма». В самом деле, из указанных соотношений имеем:

Здесь частотная часть функции Паули—Йордане для массы

Комбинируя (54) с соответствующим представлением для в области , получим:

откуда вытекает:

где — некоторый полином по

Еслн функция не убывает достаточно быстро на бесконечности, то интеграл в (55) расходится. Однако посредством вычитательной процедуры его можно сделать сходящимся и тем самым придать (55) определенный смысл. Воспользуемся формулой

с помощью которой представим (55) в виде

Выберем число достаточно большим, так, чтобы первый интеграл в (56) оказался сходящимся. Расходящиеся члены в сумме по степеням можно скомпенсировать за счет полинома . В результате такой «компенсации расходимостей», типичной для обычной вычитательной процедуры, мы придем к формуле (53).

Покажем теперь, что в силу наших условий нулевой член в сумме в (63) отсутствует, т. е.

Заметим для этого, что на основании условия матричный элемент от S между двумя одномезонными состояниями

может быть представлен с помощью (23) в виде

Коммутируя под интегралом в правой части с учетом 52.2Ж и (2), получаем

С другой стороны, на основании того же условия мы можем непосредственно писать

откуда с учетом (34) и (51) вытекает (57).

Покажем еще, что постоянные являются действительными. В самом деле, согласно определению (4) и действительности функция Q является эрмитовой, так что, учитывая четность , имеем:

Но ввиду того, что согласно (34) и (51) в окрестности точки функция совпадает с f, это дает:

Таким образом, доказано, что функции допускают спектральные представления типа (52), в котором

и

Известный результат Челлена — Лемана для бозонной функции Грина может быть получен из формул (53), (58), (59) с помощью (8) при дополнительном предположении, что «степень роста» равна единице. Подставляя (53) в (8), получаем при этом: