9.6. Состояние вакуума и амплитуда состояния в фоковском представлении.

На основании проведенного рассмотрения можно естественным образом определить состояние вакуума и установить правила построения амплитуд, соответствующих состояниям с определенным числом различных частиц.

Рассмотрим динамическую систему, состоящую из нескольких невзаимодействующих квантованных полей, характеризуемых

операторными функциями

Для удобства записи включим в эту последовательность также и соответствующие сопряженные функции в тех случаях, когда они отличаются от

Определим амплитуду состояния вакуума для данной динамической системы. Так как в вакууме отсутствуют частицы, то энергия и импульс вакуума равны нулю. Поскольку отрицательночастотные операторы и уменьшают энергию и импульс, а энергия не может быть отрицательной, то должны иметь место соотношения

при всех Переходя к импульсному представлению, получаем соответственно

при всех таких, что , где — масса частиц t-го сорта. Соотношения (34) и сопряженные им

вместе с условием нормировки

можно считать определением вакуума свободных полей.

Амплитуда любого состояния рассматриваемой динамической системы может быть теперь представлена с помощью введенной выше амплитуды вакуума и операторов рождения соответствующих частиц Так, амплитуда состояния, содержащего всего s частиц сортов (некоторые из индексов могут совпадать), представится выражением вида

Здесь — весовая функция, характеризующая распределение частиц по отношению к непрерывным параметрам состояний — энергии и импульсу, а индексы соответствуют дискретным характеристикам состояний (например, зарядам частиц и значениям проекции спина на заданное направление).

Общая амплитуда для произвольного состояния представится суперпозицией таких выражений:

Выражение (37) также может быть записано в конфигурационном представлении. Для этого сначала выполним в нем интеграцию по всем :

а также

где, как обычно, а также

Переходя к конфигурационному представлению с помощью соотношений

получаем вместо (38) следующее выражение для амплитуды состояния:

Входящие сюда функции имеют смысл обычных волновых функций системы s частиц в конфигурационном пространстве. Если бы мы имели состояние, в котором присутствует точно s частиц, то амплитуда состояния полностью характеризовалась бы одной такой функцией. В общем случае, когда число частиц не фиксировано, амплитуда состояния характеризуется цепочкой функций Мы фактически получим тогда фоковское представление амплитуды состояния.

Следует подчеркнуть, что временная зависимость из Ф выпала; это совершенно естественно, так как в выбранном нами представлении амплитуда состояния при отсутствии взаимодействия оказывается постоянной,