9.2. Представления уравнения Шредингера.

Наиболее распространенным в квантовой механике является представление Шредингера. В этом представлении поведение динамической системы во времени описывается с помощью зависящей от времени волновой функции удовлетворяющей уравнению Шредингера

Здесь Н — гамильтонов оператор, соответствующий полной энергии системы и не зависящий от времени для замкнутых (консервативных) систем. В представлении Шредингера динамические переменные замкнутых систем характеризуются операторами, не зависящими явно от времени. Их средние значения

могут, однако, зависеть от времени через волновые функции Считая оператор Н постоянным во времени, мы можем формально проинтегрировать уравнение (2) и написать

где

и

не зависит от времени.

Подставляя это выражение в (3), получаем

Формулу (6) можно интерпретировать как среднее по функциям не зависящим от времени, от оператора

зависящего от времени. Мы приходим, таким образом, к представлению Гейзенберга, в котором явно зависящими от времени оказываются не волновые функции, а динамические переменные. С точки зрения вычисления наблюдаемых значений динамических величин оба представления совершенно эквивалентны. Связь представлений

осуществляется с помощью оператора (5), который является унитарным

Дифференцируя (7) по времени, получаем уравнения движения в гейзенберговском представлении

где — квантовые скобки Пуассона. Отметим, что формулы (4) и (7), описывающие эволюцию системы от момента до момента t, являются как бы дополнительными друг к другу. Для перехода к моменту времени t следует либо преобразовать волновую функцию по формуле (4), либо преобразовать оператор по формуле (7).