46.2. Вычисление G(х, у).
Для этого воспользуемся формулой (44.20) с учетом того, что 
определяется уже не формулой (44.21), а на основании (1) равна единице. Это дает:
Таким образом, для определения G необходимо вычислить функциональный интеграл следующего вида:
где
Интеграл (18) принадлежит к типу гауссовых (относительно 
и вычисляется с помощью формулы (45.15):
где
Отсюда имеем:
Вычисляя интегралы 
в (19) находим:
Дальнейшие вычисления будем вести в произвольной калибровке, когда 
определяется выражением (34.5).
Тогда, очевидно, с учетом того, что 
:
Этот интеграл логарифмически расходится в ультрафиолетовой области. Он, однако, что очень важно, не содержит каких-либо расходимостей при малых k. Таким образом, в полном решении (20) отсутствует инфракрасная катастрофа.
Для вычисления интеграла (21) в явном виде удобно воспользоваться вспомогательной регуляризацией Паули — Вилларса. Опуская детали вычислений, приведем окончательный результат:
где М — масса Паули — Вилларса. Из сравнения с (20) видно, что второй член в правой части есть член перенормировки массы
Поэтому (22) удобно переписать в виде
Здесь первый член есть член перенормировки массы, второй — член перенормировки волновой функции (т. е. мультипликативной перенормировки функции Грина):
Оба эти члена могут быть исключены соответствующей вычитательной процедурой, сводящейся, согласно общей теории устранения расходимостей, к переопределению хронологических произведений. Поэтому мы в дальнейшем вместо G будем рассматривать функцию
не содержащую ультрафиолетовых расходимостей в пределе 
. Получаем
Обратимся к случаю, когда 
. Производя в (25) замену переменной 
получаем:
где
Интеграл 
можно оценить приближенно, воспользовавшись тем, что 
. Получаем таким путем
Подобным образом в случае, когда 
, заменой переменной 
приходим к выражению
где
Объединяя выражения (26) и (27), получаем окончательное выражение для функции Грина электрона в модели Блоха — Нордсика:
где
Сравнивая (28) с (3), видим, что полная функция Грина отличается от функции Грина свободного поля множителем
Если разложить полную функцию 
в ряд по степеням 
то в низшем приближении получим логарифмические члены
характерные для инфракрасной катастрофы.
В следующей главе (§ 50.3) будет показано, что инфракрасная особенность электронной функции Грина в обычной спинорной электродинамике также имеет характер (28).
