20.3. Матрица рассеяния.
Заметим, что уже с помощью уравнения (8) мы можем ввести в рассмотрение очень важную характеристику системы, так называемую матрицу рассеяния, или S-матрицу. Пусть мы изучаем процесс, в начале и в конце которого имеются лишь далеко отстоящие друг от друга частицы, которые можно считать свободными.
Чтобы вычислить амплитуду вероятности для происходящих в этом процессе рассеяний и взаимных превращений частиц, рассмотрим положение, при котором взаимодействие
адиабатически включается в бесконечно удаленном прошлом и адиабатически выключается в бесконечно удаленном будущем. Обозначая амплитуду начального состояния через
, а амплитуду конечного состояния через
свяжем их соотношением
в котором оператор S называется оператором рассеяния или матрицей рассеяния. Квадраты соответствующих матричных элементов S определяют вероятности переходов и эффективные сечения возможных процессов рассеяния и взаимного превращения частиц.
Для получения расчетных формул можно было бы, отправляясь от уравнения (8), построить его решение методом последовательных приближений в виде разложения по степеням малости взаимодействия. Мы получим тогда связь между
типа (12), причем оператор S запишется в виде разложения
Именно таким путем и проводилось исследование S-матрицы в большинстве основополагающих работ по квантовой теории поля (То-монага (1946); Швингер (1948); Паули, Вилларс (1949); Дайсон (1949а, б); Салам (1951)).
По нашему мнению, однако, более целесообразно исходить из схемы, предложенной Штюкельбергом (Штюкельберг, Ривье (1949); Штюкельберг, Грин (1951)), в которой непосредственно вводится обобщенная матрица рассеяния без обращения к гамильтонову формализму и уравнению Шредингера. Вместо них для конкретизации формы S-матрицы используются явно сформулированные физические условия, важную роль среди которыхиграет условие причинности. Самому Штюкельбергу не удалось получить достаточно ясной и общей формулировки условия причинности, в связи с чем его идеи не получили широкого распространения.
В развитие этих идей мы изложим ниже формулировку условия причинности для S-матрицы (Боголюбов, (1955)) и основанный на нем метод построения матрицы рассеяния в квантовой теории взаимодействующих полей.
При построении теории нам, как и в обычном изложении, придется пользоваться операциями «включения» и «выключения» взаимодействия. Чтобы математически описать эту операцию, введем функцию
с значениями в интервале
характеризующую интенсивность включения взаимодействия. В областях, где
взаимодействие отсутствует, где
— оно включено полностью и при
взаимодействие включено лишь
частично. Заменяя действительный лагранжиан взаимодействия
произведением
мы придем к взаимодействию, «включенному с интенсивностью
Пусть теперь
отлична от нуля лишь в некоторой конечной пространственно-временной области. В этом случае, в достаточно отдаленных прошлом и будущем, поля являются свободными, и потому начальное и конечное состояния динамической системы можно характеризовать обычными постоянными амплитудами состояния, введенными в главе II. Эти две величины
будут связаны некоторым оператором
, преобразующим
и зависящим от поведения функции
. Фиксируя амплитуду начального состояния
мы можем рассматривать конечную амплитуду как функционал от
Согласно этому определению
естественно интерпретировать как матрицу рассеяния для случая взаимодействия, включенного с интенсивностью g. Реальный случай, когда взаимодействие включено полностью во всем пространстве-времени, должен в данной схеме рассматриваться с помощью предельного перехода, при котором область, где
неограниченно расширяется и в пределе охватывает все пространство-время. В этом случае обычная матрица рассеяния S может быть определена в виде