20.3. Матрица рассеяния.

Заметим, что уже с помощью уравнения (8) мы можем ввести в рассмотрение очень важную характеристику системы, так называемую матрицу рассеяния, или S-матрицу. Пусть мы изучаем процесс, в начале и в конце которого имеются лишь далеко отстоящие друг от друга частицы, которые можно считать свободными.

Чтобы вычислить амплитуду вероятности для происходящих в этом процессе рассеяний и взаимных превращений частиц, рассмотрим положение, при котором взаимодействие адиабатически включается в бесконечно удаленном прошлом и адиабатически выключается в бесконечно удаленном будущем. Обозначая амплитуду начального состояния через , а амплитуду конечного состояния через свяжем их соотношением

в котором оператор S называется оператором рассеяния или матрицей рассеяния. Квадраты соответствующих матричных элементов S определяют вероятности переходов и эффективные сечения возможных процессов рассеяния и взаимного превращения частиц.

Для получения расчетных формул можно было бы, отправляясь от уравнения (8), построить его решение методом последовательных приближений в виде разложения по степеням малости взаимодействия. Мы получим тогда связь между типа (12), причем оператор S запишется в виде разложения

Именно таким путем и проводилось исследование S-матрицы в большинстве основополагающих работ по квантовой теории поля (То-монага (1946); Швингер (1948); Паули, Вилларс (1949); Дайсон (1949а, б); Салам (1951)).

По нашему мнению, однако, более целесообразно исходить из схемы, предложенной Штюкельбергом (Штюкельберг, Ривье (1949); Штюкельберг, Грин (1951)), в которой непосредственно вводится обобщенная матрица рассеяния без обращения к гамильтонову формализму и уравнению Шредингера. Вместо них для конкретизации формы S-матрицы используются явно сформулированные физические условия, важную роль среди которыхиграет условие причинности. Самому Штюкельбергу не удалось получить достаточно ясной и общей формулировки условия причинности, в связи с чем его идеи не получили широкого распространения.

В развитие этих идей мы изложим ниже формулировку условия причинности для S-матрицы (Боголюбов, (1955)) и основанный на нем метод построения матрицы рассеяния в квантовой теории взаимодействующих полей.

При построении теории нам, как и в обычном изложении, придется пользоваться операциями «включения» и «выключения» взаимодействия. Чтобы математически описать эту операцию, введем функцию с значениями в интервале характеризующую интенсивность включения взаимодействия. В областях, где взаимодействие отсутствует, где — оно включено полностью и при взаимодействие включено лишь

частично. Заменяя действительный лагранжиан взаимодействия произведением мы придем к взаимодействию, «включенному с интенсивностью

Пусть теперь отлична от нуля лишь в некоторой конечной пространственно-временной области. В этом случае, в достаточно отдаленных прошлом и будущем, поля являются свободными, и потому начальное и конечное состояния динамической системы можно характеризовать обычными постоянными амплитудами состояния, введенными в главе II. Эти две величины будут связаны некоторым оператором , преобразующим и зависящим от поведения функции . Фиксируя амплитуду начального состояния мы можем рассматривать конечную амплитуду как функционал от

Согласно этому определению естественно интерпретировать как матрицу рассеяния для случая взаимодействия, включенного с интенсивностью g. Реальный случай, когда взаимодействие включено полностью во всем пространстве-времени, должен в данной схеме рассматриваться с помощью предельного перехода, при котором область, где неограниченно расширяется и в пределе охватывает все пространство-время. В этом случае обычная матрица рассеяния S может быть определена в виде