40.2. Локальные динамические величины

В предыдущем разделе мы ввели в рассмотрение 4-вектор энергии-импульса и тензор момента, которые являются характеристиками системы квантованных полей в целом. Представляют, однако, интерес также некоторые более детальные характеристики системы взаимодействующих полей, зависящие не только от области включения взаимодействия g, но и от точки например плотность тока. Величиной подобного локального типа является и рассмотренная выше плотность гамильтониана

Обратимся к общим свойствам локальных динамических переменных указанного тина. Сформулируем, прежде всего, физические требования, которым они должны удовлетворять. Для

этого представим в виде функционального разложения по «степеням» g:

Начнем со свойства локальности. Это свойство динамической величины В соответствует тому, что в пределе стремления функции к разрывной функции а (см. § 39) В оказывается зависящей от поведения полей лишь в бесконечно малой окрестности точки Соответствующее условие для коэффициентов разложения как легко показать, имеет вид

Действительно, в § 39.2 свойство локальности гамильтониана было установлено непосредственно из условия (12) в форме (21.13). Условие (12), очевидно, может быть также записано в форме

Существенным является требование совпадения в пределе выключения взаимодействия g 0 с соответствующим выражением взятым из теории свободных полей:

Наконец, важным является условие независимости наблюдаемого значения

от поведения функции g в моменты времени, следующие за х:

Это условие представляет собой следствие принципа причинности и выражает тот факт, что результат измерения, проведенного в момент описываемый величиной (15), не может зависеть от эволюции системы в последующие моменты времени.

Используя уравнение Шредингера (39.1), находим отсюда уравнение

которое в частном случае дает

т. е. условие совместности для уравнения (39.1).

Заметим, что данное определение локальных динамических переменных является естественным обобщением соответствующих понятий, рассматриваемых в локальной теории Швингера (1948). Исследуем поведение введенных квадратичных форм при стремлении функции g к разрывной функции о, проходящей через точку Если бы этот предельный переход оказался возможным, то мы получили бы выражение именно того типа,

который рассматривается Швингером. В его работе доказывается, что эта форма не зависит от вида поверхности о, проходящей через точку . В нашем случае соответствующее условие имеет более общий вид (16).

Отметим также, что в силу (17) имеет место соотношение, еще более общее, чем (16):

где — два различных решения уравнения Шредингера (39.1).

Исходя из соотношений (11), (12), (14), (16) и видоизменяя рассуждение, с помощью которого мы определили коэффициенты разложения матрицы рассеяния можно определить также все коэффициенты Однако, поскольку это уже было проделано для оператора рассматриваемого типа, мы сведем задачу к этому случаю. Для этого введем в лагранжиан взаимодействия добавочный член

где — оператор свободного поля, соответствующий — некоторая классическая функция той же тензорной размерности. Матрица S (g), так же как и гамильтониан , становится функционалом, зависящим от b:

Покажем, что оператор может быть представлен в виде

В самом деле, выполняя функциональное дифференцирование выражения (21) с учетом коммутативности операций обычного и функционального дифференцирования, получим:

что с учетом условия причинности для матрицы дает:

Отсюда следует, что свойство локальности оператора является непосредственным следствием условия причинности для матрицы рассеяния. Вспоминая далее, что

находим дифференцированием по b

Наконец, дифференцируя (18) по при и полагая затем получим с учетом (21) условие причинности (16).

Отметим также, что если (а следовательно, и ) в (20) выбраны эрмитовыми, то , определяемый формулой (21), также будет эрмитовым в силу эрмитовости . При этом очевидно, что будет ковариантным.