24.2. Вычисление матричных элементов.

Рассмотрим матричные элементы нормальных произведений (2) между различными состояниями, содержащими частицы с определенными импульсами. Как было установлено в § 9, амплитуда состояния, содержащего частиц различных сортов с определенными значениями импульсов, представляется выражением вида

При вычислении матричного элемента

операторы рождения надо коммутировать с операторами уничтожения из амплитуды операторы — с операторами из амплитуды до тех пор, пока один из них не подействует на или что дает нуль.

Процесс вычисления таких матричных элементов был подробно разобран в начале § 17. Там было установлено, что матричный элемент (10) оказывается отличным от нуля, если для каждого оператора

из нормального произведения найдется оператор в Ф или в Ф того же поля, который «погасит» оператор и в результате коммутации с ним. Таким образом, (10) будет отличен от нуля в случае, когда сумма числа частиц каждого поля в начальном состоянии и конечном состоянии точности равна числу операторных функций данного поля в нормальном произведении (2). Матричный элемент (10) окажется отличным от нуля также в случае, если, кроме операторов, «гасящих» нормальное произведение, в содержатся операторы, гасящие друг друга.

При этом полное число частиц в состояниях превышает число операторов в (2) на некоторое четное число. Однако такие матричные элементы отличны от нуля лишь тогда, когда импульсы указанных «лишних» частиц в состояниях . совпадают.

Ограничиваясь случаем, когда ни для одной частицы импульс в начальном состоянии не равен импульсу в конечном состоянии, приходам к выводу, что матричный элемент (10) представляется в виде произведения результатов коммутации операторов

и

вычисляя которые с помощью перестановочных соотношений, записанных в виде

находим:

где

а также, подобной выкладкой,

Таким образом, после выполнения коммутаций матричный элемент (10) действительно выражается в виде произведения

причем множители соответствуют частицам начального состояния, а множители — частицам конечного состояния.

Обсудим полученные результаты с точки зрения их соответствия фейнмановским диаграммам. Наиболее важным является тот факт, что каждой внешней линии диаграммы с точки зрения структуры матричных элементов соответствует реальная частица в начальном или конечном состоянии. Это обстоятельство и позволяет считать фейнмановские диаграммы схематическими изображениями реально происходящих процессов взаимодействия элементарных частиц. Тип процессов при этом определяется структурой узлов диаграммы, которая в свою очередь зависит лагранжиана взаимодействия.

Узлы лагранжиана спинорной электродинамики могут, очевидно, рассматриваться как схематические изображения процессов поглощения или испускания фотона позитроном или электроном и процессов рождения и аннигиляции пары электрон — позитрон с поглощением или испусканием фотона, т. е. процессов типов, представленных на рис. 1 (см. стр. 90).

Узлы лагранжиана -взаимодействий описывают акты взаимодействия, в которых участвует одновременно четыре частицы: два нуклона, электрон (позитрон) и нейтрино.

Возникающие при переходе к импульсному представлению (8) -функции типа выражают, очевидно, закон сохранения энергии-импульса взаимодействующих частиц в каждом из отдельных актов. Складывая аргументы всех этих функций, мы получаем условие

выражающее закон сохранения полного 4-вектора энергии-импульса для всех реальных частиц, участвующих в рассматриваемом процессе.

Для формулировки конкретных правил соответствия между матричными элементами и фейнмановскими диаграммами вернемся к случаю спинорной электродинамики (23.3). Нетрудно убедиться, что электрону в начальном состоянии с импульсом соответствует результат коммутации , равный

Позитрону с импульсом соответствует фактор

электрону в конечном состоянии — фактор

позитрону в конечном состоянии — фактор

фотону в начальном состоянии с импульсом и поляризацией соответствует результат коммутации равный

и, наконец, фотону в конечном состоянии — фактор

Мы видим отсюда, что частицам, входящим в точку х с импульсом всегда соответствует отрицательно-частотная экспонента а частицам, выходящим из точки — фактор Поэтому удобно условиться сохранить такое соответствие и для внутренних линий диаграммы.

Согласно представлению (4) будем поэтому считать, что спаривание описывает электрон с 4-импульсом , выходящий

Таблица II. Правила соответствия для матричных элементов в импульсном представлении (без учета правила знаков и свойств симметрии)

(см. скан)

из точки у и входящий в точку х:

Отметим, что спаривание и диаграмма (15) одновременно описывают позитрон с 4-импульсом (-р), движущийся в обратном направлении.

Выполняя интеграцию по переменным с учетом (8), приходим к правилам соответствия, приведенным в таблице II.