ГЛАВА III. СИНГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ И РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ
§ 15. Функции Грина
При квантовании свободных волновых полей нам встретились: перестановочная функция Паули — Йордана скалярного поля D, ее частотные части 
, а также соответствующие функции для электромагнитного 
спинорного 
и векторного 
полей, связанные с D дифференциальными соотношениями
Перечисленные функции являются решениями однородных уравнений соответствующих полей и релятивистски инвариантным образом разбиваются на сумму своих частотных частей, каждая из которых по отдельности также удовлетворяет соответствующему однородному уравнению.
В теории взаимодействующих полей важную роль играют решения соответствующих неоднородных уравнений поля с точечными источниками, т. е. функции Грина. Мы имеем здесь в виду известные из классической теории взаимодействующих полей запаздывающую и опережающую функции Грина, а также возникающую в квантовой теории взаимодействующих полей так называемую причинную функцию Грина.
Подобно перестановочным функциям, перечисленные функции Грина различных полей выражаются через соответствующие функции Грина скалярного поля дифференциальными соотношениями. Поэтому мы начнем с рассмотрения функций Грина для скалярного поля.
15.1 Функции Грина скалярного поля.
Функцию Грина скалярного поля G определим как решение неоднородного уравнения Клейна — Гордона
Здесь и ниже знак перед 
-функцией в правой части уравнений для функций Грина для определенности будем полагать равным знаку перед массовым членом в левой части.
С помощью фурье-преобразования получаем для G следующее формальное выражение:
Это выражение является неопределенным, поскольку не заданы правила обхода полюсов 
Неопределенность отражает тот факт, что полное решение уравнения (2) представляется в виде суммы частного решения неоднородного уравнения и решений 
однородного уравнения, взятых с произвольными коэффициентами. Задание правил обхода двух полюсов при 
или наложение на 
граничных условий однозначно определяет эти коэффициенты.
Покажем это для запаздывающей функции Грина, удовлетворяющей граничному условию
Чтобы представить 
в виде, близком к (3), заметим, что при умножении этой функции на 
, где 
в силу (4) она не приобретает каких-либо дополнительных особенностей
вследствие чего ее можно представить как предел
Согласно определению (5) функция 
удовлетворяет уравнению
и потому в импульсном представлении в пределе 
принимает вид
Таким образом, в соответствии с (6) запаздывающая функция Грина может быть представлена в виде
Не составляет труда убедиться, что выражение (7) удовлетворяет условию (4). Для этого достаточно выполнить в явном виде интегрирование по переменной 
с помощью теории вычетов. Бесконечно малая добавка 
в знаменателе (7) указывает, что оба полюса в комплексной плоскости переменной 
должны быть обойдены сверху (рис. 2). Поэтому при 
когда контур интегрирования
может быть замкнут в верхней полуплоскости полуокружностью большого радиуса, внутри него не оказывается полюсов, и мы получаем (4). В случае 
контур интегрирования замыкается в нижней полуплоскости. Вычисляя вычеты, находим в этом случае:
Поэтому
Аналогичным образом можно показать, что опережающая функция
Грина, определяемая условием
и удовлетворяющая уравнению (2), имеет вид
Рис. 2. Путь интегрирования для функции 
в комплексной плоскости 
