ГЛАВА III. СИНГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ И РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

§ 15. Функции Грина

При квантовании свободных волновых полей нам встретились: перестановочная функция Паули — Йордана скалярного поля D, ее частотные части , а также соответствующие функции для электромагнитного спинорного и векторного полей, связанные с D дифференциальными соотношениями

Перечисленные функции являются решениями однородных уравнений соответствующих полей и релятивистски инвариантным образом разбиваются на сумму своих частотных частей, каждая из которых по отдельности также удовлетворяет соответствующему однородному уравнению.

В теории взаимодействующих полей важную роль играют решения соответствующих неоднородных уравнений поля с точечными источниками, т. е. функции Грина. Мы имеем здесь в виду известные из классической теории взаимодействующих полей запаздывающую и опережающую функции Грина, а также возникающую в квантовой теории взаимодействующих полей так называемую причинную функцию Грина.

Подобно перестановочным функциям, перечисленные функции Грина различных полей выражаются через соответствующие функции Грина скалярного поля дифференциальными соотношениями. Поэтому мы начнем с рассмотрения функций Грина для скалярного поля.

15.1 Функции Грина скалярного поля.

Функцию Грина скалярного поля G определим как решение неоднородного уравнения Клейна — Гордона

Здесь и ниже знак перед -функцией в правой части уравнений для функций Грина для определенности будем полагать равным знаку перед массовым членом в левой части.

С помощью фурье-преобразования получаем для G следующее формальное выражение:

Это выражение является неопределенным, поскольку не заданы правила обхода полюсов Неопределенность отражает тот факт, что полное решение уравнения (2) представляется в виде суммы частного решения неоднородного уравнения и решений однородного уравнения, взятых с произвольными коэффициентами. Задание правил обхода двух полюсов при или наложение на граничных условий однозначно определяет эти коэффициенты.

Покажем это для запаздывающей функции Грина, удовлетворяющей граничному условию

Чтобы представить в виде, близком к (3), заметим, что при умножении этой функции на , где в силу (4) она не приобретает каких-либо дополнительных особенностей

вследствие чего ее можно представить как предел

Согласно определению (5) функция удовлетворяет уравнению

и потому в импульсном представлении в пределе принимает вид

Таким образом, в соответствии с (6) запаздывающая функция Грина может быть представлена в виде

Не составляет труда убедиться, что выражение (7) удовлетворяет условию (4). Для этого достаточно выполнить в явном виде интегрирование по переменной с помощью теории вычетов. Бесконечно малая добавка в знаменателе (7) указывает, что оба полюса в комплексной плоскости переменной должны быть обойдены сверху (рис. 2). Поэтому при когда контур интегрирования

может быть замкнут в верхней полуплоскости полуокружностью большого радиуса, внутри него не оказывается полюсов, и мы получаем (4). В случае контур интегрирования замыкается в нижней полуплоскости. Вычисляя вычеты, находим в этом случае:

Поэтому

Аналогичным образом можно показать, что опережающая функция

Грина, определяемая условием

и удовлетворяющая уравнению (2), имеет вид

Рис. 2. Путь интегрирования для функции в комплексной плоскости