45.4. Переход к поперечной калибровке.

Рассмотрим теперь переход к поперечному потенциалу. Непосредственно такой переход в выражениях (9), (10), (13), (15), (19) произвести затруднительно, поскольку в пределе член лагранжиана , фиксирующий калибровку, становится бесконечным. Поэтому мы проведем специальную процедуру, взяв за отправную точку соотношение (15).

Рассмотрим специализированное калибровочное преобразование операторов электромагнитного поля, отделяющее поперечную часть

Здесь — потенциал в произвольной калибровке, а — поперечный потенциал, по определению удовлетворяющий условию

Хронологическое спаривание имеет вид

Второй член в (42) соответствует продольной калибровке и в соответствии с (43) равен

Для нас окажется существенным, что перекрестное спаривание продольной и поперечной составляющих в (42) равно нулю

и что взаимное спаривание операторов может быть представлено в виде

где

Совершим теперь в левой части (15) функциональную замену переменных, соответствующую (42),

С учетом разделения функциональных квадратур вследствие (44) получим тогда

Принимая во внимание, что

можем получить из (47) два соотношения:

где введено обозначение

Соотношение (48) может рассматриваться как определение функционального интеграла по поперечному потенциалу электромагнитного поля тогда как (49), в правой части которого F определено согласно (46), можно рассматривать как определение функционального интеграла по продольной составляющей.